Ознака збіжності Коші

Ознака збіжності Коші — ознака збіжності числових рядів:

Ряд $\sum a_k$ збігається тоді і тільки тоді, коли

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{\nu }_{ϵ},\mathrm{\forall }n,\mathrm{\forall }p,$

$n⩾{\nu }_{ϵ}\to \left|\sum _{k=1}^p{a}_{n+k}\right|⩽ϵ.(1)$

Доведення

Послідовність $(s_n)$ часткових сум ряду $\sum a_k$ збігається тоді і тільки тоді коли вона є фундаментальною, тобто

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{\nu }_{ϵ},\mathrm{\forall }n,\mathrm{\forall }p,$

$n⩾{\nu }_{ϵ}\Rightarrow |s_{n+p}-s_n|⩽ϵ,$

що є рівним умові $(1),$ так як $s_{n+p}-s_n=a_{n+1}+...+a_{n+p}.$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр