Ознака Єрмакова

Ознака Єрмакова — критерій збіжності числових рядів з додатніми членами, встановлений українським математиком Василем Єрмаковим.

Формулювання теореми

Нехай функція $f(x)$ неперервна, додатня і монотонно спадна для $x>1$. Тоді, якщо для достатньо великих $x$ (для $x\ge x_0$) виконується нерівність:$$\frac{f(e^x)\ast e^x}{f(x)}\le q<1,$$то ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n),$ є збіжним, якщо ж (для $x\ge x_0$):$$\frac{f(e^x)\ast e^x}{f(x)}\ge 1,$$то ряд є розбіжним.

Доведення теореми

1. Нехай виконується нерівність:

$$\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}⩽\lambda .$$Домножимо обидві частини нерівності на $f(x)$ і проінтегруємо використовуючи підстановку$$\underset{{\int }^{\underset{0}{\int }}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt=\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{x}{\int }}f(e^u)\cdot e^{u}du⩽\lambda \underset{\underset{0}{\int }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt,$$звідси$$(1-\lambda )\underset{{\int }^{\underset{0}{\int }}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩽\lambda (\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt-\underset{{\int }^{\underset{0}{\int }}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt)⩽\lambda (\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt-\underset{x}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt)⩽\lambda \underset{\underset{0}{\int }}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt,$$так як $e^x>x$, зменшуване в останніх дужках є додатнім. Тому розділивши нерівність на$$\underset{{\int }^{\underset{0}{\int }}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩽\frac{\lambda }{(1-\lambda )}\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt.$$Додамо до обох частин інтеграл $\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt,$ отримаємо

$\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩽\frac{1}{(1-\lambda )}\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt=L.$

Враховуючи, що $e^x>x$, при $x\ge x_0$$$\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt⩽L.$$

Оскільки зі зростанням $x$ інтеграл зростає, то існує для нього кінцева границя при $x\to \mathrm{\infty }$:$$\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt⩽L.$$Так як цей інтеграл є збіжним, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ також збігається.

1. Нехай тепер має місце нерівність:$$\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}⩾1.$$Домножимо обидві частини цієї нерівності $f(x)$ проінтегруємо, використовуємо в лівій частині підстановку: $t=e^u$, отримаємо:$$\underset{{\int }^{\underset{0}{\int }}}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩾\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$$Додамо до обох частин інтеграл $\underset{x}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt:$$$\underset{x}{\overset{e^x}{\int }}f(t)dt⩾\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{e^{x_0}}{\int }}f(t)dt=\gamma .$$Оскільки $x_0<e^{x_0}$, то $\gamma >0$. Визначимо послідовність $x_i$ наступним чином:$$x_i=e^{x_{i-1}},i=0,1,\dots ,n,\dots$$Використовуючи цю послідовність останню нерівність можна записати у вигляді:$$\underset{\underset{i-1}{\int }}{\overset{x_i}{\int }}f(t)dt⩾\gamma .$$Сумуємо інтеграл за принципом $i=0,1,\dots ,n:$$$\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{x_n}{\int }}f(t)dt=\sum _{i=1}^n\underset{\underset{i-1}{\int }}{\overset{x_i}{\int }}f(t)dt⩾n\gamma ,$$тобто цей інтеграл необмежений при $n\to \mathrm{\infty }$. Тому:

$$\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=+\mathrm{\infty }.$$Оскільки цей інтеграл розбіжний, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ є розбіжним.

Література

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
2. .D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.