Обернена функція

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Функція $f$ і обернена їй функція $f^{-1}$. Якщо $f(a)=3$, то $f^{-1}(3)=a$

Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення).

Визначення

Функція $g:Y\to X$ називається оберненою до функції $f:X\to Y$, якщо виконані наступні рівності:

• $f(g(y))=y$ для всіх $y\in Y;$
• $g(f(x))=x$ для всіх $x\in X.$

Існування

Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння $y=f(x)$ щодо $x$. Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до $f$ не існує. Таким чином, функція $f(x)$ обернена на проміжку $(a;b)$тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.

Для неперервної функції $F(y)$ виразити $y$ із рівняння $x-F(y)=0$ можливо тільки в тому випадку, коли функція $F(y)$ строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, $\sqrt{x}$є оберненою функцією до $x^2$ на $[0,+\mathrm{\infty })$, хоча на проміжку $(-\mathrm{\infty },0]$обернена функція інша: $-\sqrt{x}$.

Якщо композиція функцій f o g = E_Y, де E: Y→Y — тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = E_Yі g o f = E_X, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f^-1. Тобто f^-1(f(x))=f(f^-1(x))=x.

Приклади

• Якщо $F:ℝ\to {ℝ}_{+},F(x)=a^x$, де $a>0,$ то $F^{-1}(x)={\log }_{a}x.$
• Якщо $F(x)=ax+b,x\in ℝ$, де $a,b\in ℝ$ фіксовані постійні і $a\ne 0$, то $F^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}.$
• Якщо $F(x)=x^n,x\ge 0,n\in \mathbb{Z}$, то $F^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}.$

Не слід плутати позначку f^-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

$f:x\to 3x+2$

$f^{-1}:x\to (x-2)/3$

Властивості

• Областю визначення $F^{-1}$ є множина $Y$, а областю значень множина $X$.
• При побудові маємо:

$y=F(x)\iff x=F^{-1}(y)$

або

$F(F^{-1}(y))=y,\mathrm{\forall }y\in Y$,

$F^{-1}(F(x))=x,\mathrm{\forall }x\in X$,

або коротше

$F\circ F^{-1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$,

$F^{-1}\circ F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$,

де $\circ$ означає композицію функцій, а ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ — Тотожні відображення на $X$ і $Y$.

• Функція $F$ є оберненою до $F^{-1}$:

${\left(F^{-1}\right)}^{-1}=F$.

• Нехай $F:X\subset ℝ\to Y\subset ℝ$ — бієкція. Нехай $F^{-1}:Y\to X$ її обернена функція. Тоді графіки функцій $y=F(x)$ і $y=F^{-1}(x)$ симетричні відносно прямої $y=x$.

Розкладання в степеневий ряд

Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:

$F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k(x_0)\frac{(y-f(x_0){)}^k}{k!},$

де коефіцієнти $A_k$ задаються рекурсивною формулою:

$A_k(x)=\{\begin{array}{c}{A}_0(x)=x\\ A_{n+1}(x)=\frac{{A_n}^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}\end{array}$

Див. також

• Функція (математика)
• Тотожна функція
• Композиція функцій
• Теорема про обернену функцію
• Обернений оператор

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:Клепко ВМ