Норма матриці

У математиці, нормою матриці вважають розширенням терміна векторної норми на матриці.

Нехай у просторі векторів ${ℝ}^m$ визначена норма вектора $\Vert \cdot \Vert$. Тоді нормою матриці $A$ називають число $\Vert A\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Ax\Vert$.

Прямі вирази

У залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:

1. $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le j\le m}{\max }\left|x_j\right|$. Тоді
   $\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le m}{\max }(\sum _{j=1}^m|a_{ij}|)$
2. $\Vert x{\Vert }_1=\sum _{j=1}^m\left|x_j\right|$. Тоді
   $\Vert A{\Vert }_1=\underset{1\le j\le m}{\max }\left(\sum _{i=1}^m\left|a_{ij}\right|\right)$
3. $\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\left|x_j\right|}^2}=\sqrt{(x,x)}$. Тоді
   $\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{\underset{1\le i\le m}{\max }{\lambda }_{A^T\cdot A}^i}$,
   де ${\lambda }_D^i$ — власні значення матриці $D$.

Векторні норми

Матрицю розмірності $m\times n$ можна трактувати як вектор довжини $mn$ і застосовувати до нього норму вектора.

Норма Фробеніуса

Виглядає так:

$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}$

Властивості норми матриці

Хай $K$ позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай $K^{m\times n}$ позначає векторний простір, що містить всі матриці з $m$ рядків та $n$ стовпців з елементами типу $K$.

Якщо $\Vert A\Vert$ позначає норму матриці $A$, тоді для неї виконуються такі властивості:

• $\Vert A\Vert >0$ якщо $A\ne 0$ та $\Vert A\Vert =0$ тоді і тільки тоді, коли $A=0$
• $\Vert \alpha A\Vert =|\alpha |\cdot \Vert A\Vert ,\mathrm{\forall }\alpha \in K$ та $\mathrm{\forall }A\in K^{m\times n}$
• $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert ,\mathrm{\forall }A,B\in K^{m\times n}.$

Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:

• $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$ для всіх $A$ та $B$ з $K^{n\times n}.$

Норма матриці що задовільняє цю властивість називається субмультиплікативною нормою (деякі підручники використовують термін "норма матриці" виключно для субмультиплікативних норм).

Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.

Узгоджені норми

Матрична норма $\Vert \cdot \Vert$ на $K^{m\times n}$ називається узгодженою (Шаблон:Lang-en) з векторними нормами $\Vert \cdot {\Vert }_a$ і $\Vert \cdot {\Vert }_b$ на $K^n$ і $K^m$ відповідно, якщо:

$\Vert Ax{\Vert }_b\le \Vert A\Vert \Vert x{\Vert }_a$

для всіх $A\in K^{m\times n},x\in K^n$. Усі індуковані норми узгодженні за означенням.

Сумісні норми

Матрична норма $\Vert \cdot \Vert$ на $K^{n\times n}$ називається сумісною (Шаблон:Lang-en) з векторною нормою $\Vert \cdot {\Vert }_a$ на $K^n,$ якщо:

$\Vert Ax{\Vert }_a\le \Vert A\Vert \Vert x{\Vert }_a$

для всіх $A\in K^{n\times n},x\in K^n$. Індукована норма сумісна за означенням.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Книга