Нерівність Шапіро

Нерівність Шапіро запропонована Г. Шапіро 1954 року.

Заява про нерівність

Нехай n — натуральне число, а $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — додатні числа, такі що:

• n парне і $n\le 12$, або
• n непарне і $n\le 23$.

Тоді Нерівність Шапіро стверджує, що

$\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}\ge \frac{n}{2}$

де $x_{n+1}=x_1,x_{n+2}=x_2$.

Для більших значень n нерівність Шаблон:Уточнити2 і сувора нижня межа дорівнює $\gamma \frac{n}{2}$, де $\gamma \approx 0.9891\dots$.

Початкові доведення нерівності в основних випадках $n=12$ (Годунова та Левін, 1976) та $n=23$ (Troesch, 1989) покладаються на чисельні розрахунки. 2002 року PJ Bushell та JB McLeod опублікували аналітичні доведення для $n=12$.

Значення γ було визначено 1971 року Володимиром Дрінфельдом, який виграв Медаль Філдса 1990 року. Окремо Дрінфельд показав, що точна нижня межа γ задана $\frac{1}{2}\psi (0)$, де ψ — функція опуклої оболонки $f\left(x\right)=e^{-x}$ і $g\left(x\right)=\frac{2}{e^x+e^{\frac{x}{2}}}$ (Тобто область над графіком ψ є опуклою оболонкою об'єднання областей над графіками f і g).

Внутрішні локальні міміми лівої частини завжди $\ge \frac{n}{2}$ (Nowosad, 1968).

Контрприклади для більших n

Перший контрприклад був знайдений Lighthill 1956 року для $n=20$:

$x_{20}=(1+5ϵ,6ϵ,1+4ϵ,5ϵ,1+3ϵ,4ϵ,1+2ϵ,3ϵ,1+ϵ,2ϵ,1+2ϵ,ϵ,1+3ϵ,2ϵ,1+4ϵ,3ϵ,1+5ϵ,4ϵ,1+6ϵ,5ϵ)$, де $ϵ$ близька до 0.

Тоді ліва частина дорівнює $10-{ϵ}^2+O({ϵ}^3)$, тобто $<10$, коли $ϵ$ достатньо мале.

Наступним контрприклад для $n=14$ навів Троуш (1985):

$x_{14}$ = (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40) (Troesch, 1985)

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal They give an analytic proof of the formula for even n ≤ 12, from which the result for all n ≤ 12 follows. They state n = 23 as an open problem.

Посилання

• Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes)
• PlanetMath