Нерівність Пеєтре

У математиці нерівність Пеєтре є нерівністю на векторних просторах названою на честь естонського математика Яака Пеєтре.

Для довільного дійсного числа t і векторів x і y у Rⁿ, вірною є нерівність:

${\left(\frac{1+|x{|}^2}{1+|y{|}^2}\right)}^t⩽2^{|t|}(1+|x-y{|}^2{)}^{|t|}.$

Нерівність часто використовується у функціональному аналізі і теорії диференціальних рівнянь.

Доведення

Для довільних векторів $y,z\in {ℝ}^n$ із нерівності Коші — Буняковського і означення норми вектора випливає, що

$\begin{array}{cc}1+|y-z{|}^2& =1+|y{|}^2+2(y,z)+|z{|}^2\\ & ⩽1+|y{|}^2+2|y||z|+|z{|}^2\\ & ⩽1+2|y{|}^2+2|z{|}^2\\ & ⩽2(1+|y{|}^2)(1+|z{|}^2).\end{array}$

Якщо позначити $x=y-z$ то одержується нерівність:

$1+|x{|}^2⩽2(1+|y{|}^2)(1+|x-y{|}^2).$

Якщо $t>0$ то після піднесення цієї нерівності у степінь t одержується твердження нерівності Пеєтре. Якщо $t<0$ то $-t>0$ і тому після зміни місцями векторів $y$ і $x$ і піднесення нерівності у степінь $-t$ одержиться нерівність:

$(1+|y{|}^2{)}^{-t}⩽2^{-t}(1+|x{|}^2{)}^{-t}(1+|x-y{|}^2{)}^{-t}.$

Нерівність Пеєтре одержується після множення обидвох частин останньої нерівності на $(1+|x{|}^2{)}^t$ і врахування того факту, що у цьому випадку $|t|=-t.$

Якщо $t=0$, то обидві сторони нестрогої нерівності Пеєтре є рівними 1.

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.