Незміщена оцінка

Незміщена оцінка в математичній статистиці — це точкова оцінка, математичне сподівання якої рівне параметру, що оцінюється.

Означення

• Статистика $\hat{\theta }$ називається незміщеною оцінкою параметра $\theta$, якщо

${\mu }_{\hat{\theta }}=\mathrm{E}(\hat{\theta })=\theta$.

В іншому випадку оцінка називається зміщеною, а випадкова величина $\hat{\theta }-\theta$ називається її зміщенням.

Приклади

• Вибіркове середнє $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ є незміщеною оцінкою математичного сподівання $X_i$, оскільки якщо $𝔼X_i=\mu <\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}$, то $𝔼\overline{X}=\mu$.

• Нехай випадкові величини $X_i$ мають скінченну дисперсію $\mathrm{D}{X}_i={\sigma }^2$. Побудуємо оцінки : $S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2$ — вибіркова дисперсія, і : $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2$ — виправлена вибіркова дисперсія.

Тоді $S_n^2$ є зміщенною, а $S^2$ незміщеною оцінками параметра ${\sigma }^2$. Зміщеність $S_n^2$ можна довести таким чином:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[S_n^2]& =\mathrm{E}[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2]=\mathrm{E}[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n((X_i-\mu )-(\bar{X}-\mu ){)}^2]\\ & =\mathrm{E}[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2-2(\bar{X}-\mu )\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )+(\bar{X}-\mu {)}^2]\\ & =\mathrm{E}[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2-(\bar{X}-\mu {)}^2]={\sigma }^2-\mathrm{E}[(\bar{X}-\mu {)}^2]\\ & ={\sigma }^2-\frac{1}{n}{\sigma }^2=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2<{\sigma }^2.\end{array}$

Де $\mu$ і $\bar{X}$ — середнє і його оцінка відповідно.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• M. G. Kendall. «The advanced theory of statistics (vol. I). Distribution theory (2nd edition)». Charles Griffin & Company Limited, 1945.
• M. G. Kendall and A. Stuart. «The advanced theory of statistics (vol. II). Inference and relationship (2nd edition)». Charles Griffin & Company Limited, 1967.
• A. Papoulis. Probability, random variables, and stochastic processes (3rd edition). McGrow-Hill Inc., 1991.
• G. Saporta. «Probabilités, analyse des données et statistiques». Éditions Technip, Paris, 1990.
• J. F. Kenney and E. S. Keeping. Mathematics of Statistics. Part I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
• I. V. Blagouchine and E. Moreau: «Unbiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal», IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, no. 9, pp. 3330-3346, September 2009.
• An Illuminating Counterexample