Мішана похідна

Мішана похідна — результат послідовного обчислення часткових похідних по різних змінних для функції багатьох змінних.

Означення

Нехай дано достатньо гладку функцію $f$ багатьох змінних:

$(1)f=f(x_1,x_2,\dots x_n)$

Ми можемо взяти частинну похідну цієї функції по одному з аргументів $x_i$, вважаючи решту аргументів постійними параметрами. В результаті ми одержимо нову функцію:

$(2)\varphi (x_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}{|}_{x_1,\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_n=const}$

Ця нова функція теж залежить від решти аргументів, як від параметрів. Тобто чисельне значення $\varphi$ в загальному випадку залежить від усіх тих змінних $x_1,x_2,\dots x_n$, що і оригінальна функція $f$:

$(3)\varphi =\varphi (x_1,x_2,\dots x_n)$

Якщо функція $\varphi$ виявиться досить гладкою, то ми можемо і її продиференціювати, взявши частинну похідну по тому самому, або по іншому аргументу $x_j$:

$(4)\frac{\partial \varphi }{\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$

Якщо $j\ne i$, то вираз в правій частині рівності (4) називається мішаною похідною.

Теорема Шварца (рівність змішаних похідних)

Для достатньо гладкої функції багатьох змінних значення мішаної похідної не залежить від порядку диференціювання:

$(5)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр