Моменти зображення

В обробці зображень, комп'ютерному зорі та суміжних областях, під моментами зображення розуміються деякі часткові зважені середні інтенсивностей пікселів зображення, які є глобальними дескрипторами зображення. Моменти зображення корисні для опису об'єктів після сегментації.

Геометричні моменти

Для 2D неперервної функції $f(x,y)$ геометричним моментом порядку (p + q) називається вираз

$M_{pq}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^p{y}^{q}f(x,y)dxdy$

для p,q = 0,1,2,... Для диcкреnного напівтонового зображення з інтенсивністю пікселів $I(x,y)$ та розміру $M\times N$, геометричні моменти $M_{ij}$ обчислюються за формулою

$M_{ij}=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}{x}^i{y}^{j}I(x,y)$

Теорема єдиності (Hu [1962]) стверджує, що коли f(x,y) є кусково-неперервною функцією яка приймає ненульові значення в скінченній області площини Oxy, то моменти всіх порядків $M_{ij}$ існують і однозначно визначаються функцією $f(x,y)$ . Навпаки, функція $f(x,y)$ однозначно відновлюється з її моментів $M_{ij}$.

Приклади

Прості властивості зображення виражені в термінах геометричних моментів:

• Площа (для бінарного зображення) або сума рівнів сірого (для напівтонових зображень):$M_{00}$
• Центр мас зображення: $\{\overline{x},\overline{y}\}=\{\frac{M_{10}}{M_{00}},\frac{M_{01}}{M_{00}}\}$

Центральні моменти

Центральний момент визначається як

${\mu }_{pq}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\overline{x}{)}^p(y-\overline{y}{)}^{q}f(x,y)dxdy$

де $\overline{x}=\frac{M_{10}}{M_{00}}$ i $\overline{y}=\frac{M_{01}}{M_{00}}$ є компонентами центроїда.

Якщо ƒ(x, y) є дискретним зображенням, тоді попереднє рівняння перетворюється у наступне

${\mu }_{pq}=\sum _x\sum _y(x-\overline{x}{)}^p(y-\overline{y}{)}^{q}f(x,y)$

Центральніи моменти до третього порядку:

${\mu }_{00}=M_{00},$

${\mu }_{01}=0,$

${\mu }_{10}=0,$

${\mu }_{11}=M_{11}-\overline{x}{M}_{01}=M_{11}-\overline{y}{M}_{10},$

${\mu }_{20}=M_{20}-\overline{x}{M}_{10},$

${\mu }_{02}=M_{02}-\overline{y}{M}_{01},$

${\mu }_{21}=M_{21}-2\overline{x}{M}_{11}-\overline{y}{M}_{20}+2{\overline{x}}^2{M}_{01},$

${\mu }_{12}=M_{12}-2\overline{y}{M}_{11}-\overline{x}{M}_{02}+2{\overline{y}}^2{M}_{10},$

${\mu }_{30}=M_{30}-3\overline{x}{M}_{20}+2{\overline{x}}^2{M}_{10},$

${\mu }_{03}=M_{03}-3\overline{y}{M}_{02}+2{\overline{y}}^2{M}_{01}.$

Центральні моменти виражаються через геометричні моменти:

${\mu }_{pq}=\sum _m^p\sum _n^q(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{n})(-\overline{x}{)}^{(p-m)}(-\overline{y}{)}^{(q-n)}{M}_{mn}$

Центральні моменти є інваріантами відносно паралельного перенесення.

Приклади

Інформація про орієнтацію зображення може бути отримана з коваріаційної матриці побудованої з центральних моментів:

$\mu {\text{'}}_{20}={\mu }_{20}/{\mu }_{00}=M_{20}/M_{00}-{\overline{x}}^2$

$\mu {\text{'}}_{02}={\mu }_{02}/{\mu }_{00}=M_{02}/M_{00}-{\overline{y}}^2$

$\mu {\text{'}}_{11}={\mu }_{11}/{\mu }_{00}=M_{11}/M_{00}-\overline{x}\overline{y}$

Коваріаційна матриця зображення $I(x,y)$ має вигляд

$\mathrm{cov}[I(x,y)]=\left[\begin{array}{cc}\mu {\text{'}}_{20}& \mu {\text{'}}_{11}\\ \mu {\text{'}}_{11}& \mu {\text{'}}_{02}\end{array}\right]$.

Власні вектори цієї матриці відповідають головній і побічній осям інтенсивності зображення, тому орієнтація може бути отримана з кута власного вектора асоційованого з найбільшим власним значенням у напрямку осі яка найближча до цього власного вектора. Цей кут Θ обчислюється за такою формулою:

$\mathrm{\Theta }=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\mu {\text{'}}_{11}}{\mu {\text{'}}_{20}-\mu {\text{'}}_{02}}\right)$

Наведена формула справедлива тих пір, поки:

$\mu {\text{'}}_{20}-\mu {\text{'}}_{02}\ne 0$

Власні вектори коваріаційної матриці рівні

${\lambda }_i=\frac{\mu {\text{'}}_{20}+\mu {\text{'}}_{02}}{2}\pm \frac{\sqrt{4{{\mu }^{\prime }}_{11}^2+({{\mu }^{\prime }}_{20}-{{\mu }^{\prime }}_{02}{)}^2}}{2},$

Моментні інваріанти

Моменти добре відомі своїм застосуванням в аналізі зображень, оскільки їх можна використовувати для отримання інваріантів щодо конкретних класів перетворень.

Зауважимо, що детально описані нижче інваріанти є точними інваріантними лише для неперервних зображень. У дискретному випадку ні масштабування, ні повороти не визначені коректно: дискретне зображення, перетворене таким чином, як правило, є наближенням, і задіяні перетворення не є оборотним. Тому ці інваріанти є лише приблизно інваріантними при описі фігури в дискретному зображенні.

Інваріанти групи паралельних перенесень

Центральні моменти μ_{i j} довільного порядку є інваріантами відносно паралельних перенесень, за побудовою.

Інваріанти групи рівномірних розтягів

Інваріанти ${\eta }_{ij}$ відносно як паралельних переносів так і рівномірних розтягів можуть бути побудовані з центральних моментів шляхом ділення на підходящу степінь нульового центрального моменту:

${\eta }_{ij}=\frac{{\mu }_{ij}}{{\mu }_{00}^{(1+\frac{i+j}{2})}}$

де i + j ≥ 2.

Інваріанти групи поворотів

Як показано в статті Hu, інваріанти відносно паралельних переносів, масштабування і поворотів мають вигляд

$I_1={\eta }_{20}+{\eta }_{02}$

$I_2=({\eta }_{20}-{\eta }_{02}{)}^2+4{\eta }_{11}^2$

$I_3=({\eta }_{30}-3{\eta }_{12}{)}^2+(3{\eta }_{21}-{\eta }_{03}{)}^2$

$I_4=({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2+({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2$

$I_5=({\eta }_{30}-3{\eta }_{12})({\eta }_{30}+{\eta }_{12})[({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-3({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2]+(3{\eta }_{21}-{\eta }_{03})({\eta }_{21}+{\eta }_{03})[3({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2]$

$I_6=({\eta }_{20}-{\eta }_{02})[({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2]+4{\eta }_{11}({\eta }_{30}+{\eta }_{12})({\eta }_{21}+{\eta }_{03})$

$I_7=(3{\eta }_{21}-{\eta }_{03})({\eta }_{30}+{\eta }_{12})[({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-3({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2]-({\eta }_{30}-3{\eta }_{12})({\eta }_{21}+{\eta }_{03})[3({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2].$

Ці інваріанти добре відомі як інваріантні моменти Hu.

Перший з них I₁, є аналогом моменту інерції відносно центроїда зображення. Останній I₇ називається косим інваріантом, який дає змогу розрізняти дзеркальні зображення. Ці інваріанти залежні між собою.

Повна і незалежна множина інваріантів групи повороту вперше побудована в J. Flusser. Також він довів, що моменти Hu не є повною множиною інваріантів до третього порядку і вони не є незалежними. I₃ не дуже корисний оскільки є раціональним дробом від інших інваріантів. Також в оригінальні статті Hu пропущено незалежний інваріант :

$I_8={\eta }_{11}[({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-({\eta }_{03}+{\eta }_{21}{)}^2]-({\eta }_{20}-{\eta }_{02})({\eta }_{30}+{\eta }_{12})({\eta }_{03}+{\eta }_{21})$

Л. Бедратюк розглянув питання побудови моментних інваріантів як задачу класичної теорії інваріантів. В статті було введено поняття алгебри 2D моментних інваріантів і показано що ця алгебра ізоморфна класичному об'єкту -- алгебрі спільних $SO(2)$-інваріантів кількох бінарних форм. Також було обчислено мінімальну породжуючу систему алгебри моментних інваріантів і підтверджено результати статті $[3].$