Модель Пламмера

Модель Пламмера, також сфера Пламмера (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-en) — закон розподілу густини, вперше застосований Г. Пламмером при дослідженні кулястих скупчень. Часто використовується у вигляді спрощеної моделі в рамках моделювання в задачі N тіл.

Опис моделі

Тривимірний профіль густини в моделі Пламмера має вигляд

${\rho }_P(r)=\frac{3M_0}{4\pi a^3}{(1+\frac{r^2}{a^2})}^{-\frac{5}{2}},$

де $M_0$ — повна маса модельованого об'єкта, a — так званий радіус Пламмера, масштабний параметр, який встановлює характерний розмір ядра системи. Відповідний потенціал має вигляд

${\mathrm{\Phi }}_P(r)=-\frac{G{M}_0}{\sqrt{r^2+a^2}},$

де G позначає гравітаційну сталу. Дисперсія швидкостей становить

${\sigma }_P^2(r)=\frac{G{M}_0}{6\sqrt{r^2+a^2}}.$

Функція розподілу має вигляд

$f(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=\frac{24\sqrt{2}}{7{\pi }^3}\frac{N{a}^2}{G^5{M}_0^5}(-E(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v}){)}^{7/2},$

якщо $E<0$, і $f(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=0$ в іншому випадку. тут $E(\overrightarrow{x},\overrightarrow{v})=\frac{1}{2}{v}^2+{\mathrm{\Phi }}_P(r)$ показує енергію в розрахунку на одиницю маси.

Властивості

Маса всередині сфери радіуса $r$:

$M(<r)=4\pi \underset{0}{\overset{r}{\int }}r{\text{'}}^2{\rho }_P(r^{\prime })d{r}^{\prime }=M_0\frac{r^3}{(r^2+a^2{)}^{3/2}}.$

Багато властивостей моделі Пламмера описано в статті Хервіга Дейонге.

Радіус ядра $r_c$, на якому густина падає до половини значення в центрі, дорівнює $r_c=a\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx 0.64a$.

Радіус, всередині якого міститься половина маси, $r_h={(\frac{1}{0.5^{2/3}}-1)}^{-0.5}a\approx 1.3a.$

Віріальний радіус становить $r_V=\frac{16}{3\pi }a\approx 1.7a$ .

Двовимірна поверхнева густина дорівнює

$\mathrm{\Sigma }(R)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (r(z))dz=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{3a^2{M}_{0}dz}{4\pi (a^2+z^2+R^2{)}^{5/2}}=\frac{M_0{a}^2}{\pi (a^2+R^2{)}^2}$ ,

отже, двовимірний профіль розподілу маси:

$M(R)=2\pi \underset{0}{\overset{R}{\int }}\mathrm{\Sigma }(R^{\prime })R^{\prime }d{R}^{\prime }=M_0\frac{R^2}{a^2+R^2}$.

В астрономії буває необхідно визначати також радіус, всередині якого міститься половина маси в рамках двовимірного розподілу $M(R_{1/2})=M_0/2$.

Для моделі Пламмера $R_{1/2}=a$.

Радіальні точки повороту орбіти характеризуються питомою енергією $E=\frac{1}{2}{v}^2+\mathrm{\Phi }(r)$ і питомим кутовим моментом $L=|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|$, відповідні значення відстаней можна знайти як корені кубічного рівняння

$R^3+\frac{G{M}_0}{E}{R}^2-(\frac{L^2}{2E}+a^2)R-\frac{G{M}_0{a}^2}{E}=0,$

де $R=\sqrt{r^2+a^2}$, тому $r=\sqrt{R^2-a^2}$. Це рівняння має три дійсних корені $R$ : Два додатних і один від'ємний, при $L<L_c(E)$, де $L_c(E)$ є питомим кутовим моментом для кругової орбіти з тією ж енергією. $L_c$ можна обчислити на основі єдиного дійсного кореня дискримінанту кубічного рівняння, який сам по собі є кубічним рівнянням

$\underset{\_}{E}{\underset{\_}{L}}_c^3+(6{\underset{\_}{E}}^2{\underset{\_}{a}}^2+\frac{1}{2}){\underset{\_}{L}}_c^2+(12{\underset{\_}{E}}^3{\underset{\_}{a}}^4+20\underset{\_}{E}{\underset{\_}{a}}^2){\underset{\_}{L}}_c+(8{\underset{\_}{E}}^4{\underset{\_}{a}}^6-16{\underset{\_}{E}}^2{\underset{\_}{a}}^4+8{\underset{\_}{a}}^2)=0,$

де підкреслені параметри є безрозмірними в Шаблон:Нп, визначених у вигляді $\underset{\_}{E}=E{r}_V/(G{M}_0)$, ${\underset{\_}{L}}_c=L_c/\sqrt{GM{r}_V}$ і $\underset{\_}{a}=a/r_V=3\pi /16$.

Застосування

Модель Пламмера дозволяє подати спостережувані профілі густини зоряних скупчень, хоча швидке зниження густини на великих відстанях ($\rho \to r^{-5}$) погано описується цим способом.

Поведінка густини поблизу центру системи не відповідає спостережуваним характеристикам еліптичних галактик, у яких густина до центру зростає сильніше.

Простота, з якою можна застосувати модель Пламмера в методі Монте-Карло, зробила модель Пламмера дуже популярною в рамках моделювання задачі N тіл, попри недостатній реалізм моделі.