Модель Wonderland

Wonderland є інтегрованою математичною моделлю, яка використовується для вивчення явищ в сталого розвитку. Вперше представлена в (Sanderson 1994), зараз існує кілька суміжних версій для цієї моделі в використанні. Wonderland дозволяє економістам, політичним аналітикам і екологам, вивчати взаємодію між господарським, демографічним і антропогенними секторами в ідеалізованому світі, що дає їм можливість використовувати отримані дані в реальному світі.

Вступ

Wonderland є компактною моделлю. Загалом, існує лише чотири постійних змінних стану, по одній для господарського і демографічного секторів і дві для антропогенного сектору, що робить Wonderland більш компактною і легшою для аналізу, ніж великі заплутані моделі, такі як World3. З цієї причини вона часто використовується як початкова область тестування нових методів у сфері аналізу політики (Lempert, et al., 2003).

Основні рівняння

Позначимо чотири змінні стану: $x(t)$ – населення, $y(t)$ – виробництво на душу населення , $z(t)$ – природні багатства і  $p(t)$ – викид забруднення на одиницю виробництва. Нехай $x,y\in [0,\mathrm{\infty })$ і $z,p\in [0,1]$, тоді змінні стану змінюються в дискретному часі, відповідно до наступного рекурентного співвідношення (Sanderson, 1994).

$\begin{array}{cc}x(t+1)& =x(t)[1+b(y(t),z(t))-d(y(t),z(t)\left)\right],\\ y(t+1)& =y(t)(1+\gamma -(\gamma +\eta )[1-z(t){]}^{\lambda }),\\ z(t+1)& =\frac{g(x(t),y(t),z(t),p(t))}{1+g(x(t),y(t),z(t),p(t))},\\ p(t+1)& =p(t)(1-\chi ),\\ & \\ \text{де,}& \\ & \\ b(y,z)& ={\beta }_0[{\beta }_1-\left(\frac{e^{\beta y}}{1+e^{\beta y}}\right)],\\ d(y,z)& ={\alpha }_0[{\alpha }_1-\left(\frac{e^{\alpha y}}{1+e^{\alpha y}}\right)][1+{\alpha }_2(1-z{)}^{\theta }],\\ g(x,y,z,p)& =\frac{z}{1-z}{e}^{\delta z^{\rho }-\omega f(x,y,p)},\text{і}\\ f(x,y,p)& =xyp.\end{array}$

Взагаліному ці рівняння залежать від 15 параметрів. 

Сектор	Параметри
Господарський	$\gamma ,\eta ,\lambda$
Демографічний	$\chi ,\delta ,\rho ,\omega$
Антропогенний	$\alpha ,{\alpha }_0,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\beta ,{\beta }_0,{\beta }_1,\theta$

$b(y,z)$ і $d(y,z)$ показують рівень народжуваність і рівень смертності відповідно. Обидва ці значення на душу населення збільшують викиди, згідно з емпіричними дослідженнями (Cohen, 1995).

Форма$f(x,y,p)$ слідує з I = PAT гіпотези.

Системна поведінка

Використовуючи техніку аналізу сценарію, Сендерсон (1994) дослідив два сценарії майбутнього описані в Wonderland. Одне майбутнє називається Мрія, висувається можливість безперервного стійкого зростання, інше називається Жах, яке закінчується екологічною кризою і можливим вимиранням населення. Подальша робота (Kohring, 2006) показує, що параметри моделі можуть бути розділені на дві множини, з одної завжди отримуємо стійке майбутнє і інша завжди приводить до кризи і вимирання. Додатково, рівняння Wonderland показують хаотичну поведінку (Gröller, et al., 1996, Wegenkittl, et al., 1997, Leeves and Herbert, 1998).

Уникнення кризи

В базовій моделі неможливо уникнути або відновитися з екологічної кризи у сценарії Жах без зміни самої моделі. Проте дві зміни, які допомагають уникнути катастрофи, були вивчені: зниження рівня забруднення і уникнення забруднення.

Зниження рівня забруднення

Для очищення забруднення необхідно залучати кошти з інших джерел (Sanderson, 1994). Це зменшує значення $y$, яке входить у рівняння народжуваності $b$ і смертності $d$:

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=y-\varphi (1-z{)}^{\mu }y\end{array}$

Час зміни $y(t)$ не змінюється, тому що ті товари і послуги, які необхідні для боротьби із забрудненням, також повинні розглядатися як частина загального виробництва. Вплив цих змін на навколишнє середовище виражається змінами $f$:

$\begin{array}{c}f(x,y,p)=xyp-\kappa \frac{e^{ϵ\varphi (1-z{)}^{\mu }yx}}{1+e^{ϵ\varphi (1-z{)}^{\mu }yx}}\end{array}$

Ці зміни вносять у модель три нові параметри:

Сектор	Параметри
Політичні важелі	$\varphi ,\mu ,\kappa$

Підбираючи політичні важелі, можна очистити забруднене середовище та відновитись після кризи, яка виникає в сценарії Жах. Проте відновлення є тимчасове, після короткого часу система знову занепадає, що веде до нескінченних циклів кризи з подальшим відновленням. Зниження забруднення не змінює фундаментального поділу параметрів на два набори сталого та нестійкого майбутніх (Kohring, 2006).

Уникнення забруднення

Уникнення забруднення має на меті запобігти надходженню забруднення в навколишнє середовище, зробивши це збитковим. Це моделюється за допомогою податку на забруднення (Herbert and Leeves, 1998, Lempert, et al., 2003):

$\begin{array}{cc}y(t+1)& =y(t)(1+\gamma -(\gamma +\eta )[1-z(t){]}^{\lambda }-{\gamma }_0\frac{\tau }{1-\tau }),\\ p(t+1)& =p(t)(1-\chi -{\chi }_0\frac{\tau }{1+\tau }).\\ \end{array}$

Нові параметри для моделі запобігання забрудненню:

Сектор	Параметри
Політичні важелі	${\gamma }_0,{\chi }_0,\tau$

З цими змінами можна підвищити рівень податків $\tau$ уникнути кризи і сценарію Жах. Незалежно від інших параметрів, завжди можна збільшити $\tau$ (Kohring, 2006).

Різновиди

Виробнича функція

Замість відносно простого рівняння економічного зростання, яке використовується для $y(t)$ деякі дослідники використовують виробничу функцію Кобба-Дугласа (Leeves and Herbert, 2002).

Кілька країн

Стандартна форма моделі Wonderland містить єдиний суб'єкт господарювання. Герберт в (2005) розширив Wonderland до багатонаціональної моделі, дозволяючи різним суб'єктам господарювання використовувати різні набори параметрів, припускаючи, що результати виробництва пов'язані через спільну торгівлю.

Диференціальні рівняння

Спочатку розроблена в термінах дискретного часу, різницеві рівняння, модель часто переробляється як сукупність диференціальних рівнянь безперервного часу (Gröller, і співавт., 1996)

Посилання

• Школам математичного моделювання на факультеті прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка кафедра прикладної математики
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite encyclopedia
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite conference
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal