Многогранник Ганнера

Куб і двоїстий йому октаедр — два тривимірних многогранники Ганнера.

Чотиривимірна восьмигранна призма — перший приклад неправильного многогранника Ганнера.

Многогранники Ганнера — клас опуклих многогранників, які можна отримати рекурсивно з відрізка за допомогою двох операцій: взяття прямого добутку і перехід до двоїстого многогранника.

Названі на честь Шаблон:Iw, який розглянув їх 1956 року.

Побудова

Многогранники Ганнера утворюють мінімальний клас многогранників, що задовольняє таким умовам:

• Відрізок прямої є одновимірним многогранником Ганнера.
• Прямий добуток двох многогранників Ганнера є многогранником Ганнера. (Його розмірність дорівнює сумі розмірностей двох початкових многогранників.)
• Многогранник, двоїстий до многогранника Ганнера є многогранником Ганнера. (Цей многогранник має ту ж розмірність, що й початковий.)

Зауваження

• Замість операції переходу до двоїстого многогранника можна брати опуклу оболонку об'єднання многогранників, що містяться в перпендикулярних підпросторах.

Приклади

• Квадрат — це многогранник Ганнера як прямий добуток двох відрізків.
• Куб — це многогранник Ганнера як прямий добуток трьох відрізків.
• Октаедр — також многогранник Ганнера як многогранник, двоїстий до куба.

В розмірності три будь-який многогранник Ганнера комбінаторно еквівалентний одному з цих двох видів многогранників. У вищих вимірах аналоги куба і октаедра, гіперкуби і гіпероктаедри, також є многогранниками Ганнера. Однак є й інші приклади. Зокрема восьмигранна призма — чотиривимірна призма, в основі якої октаедр. Вона є многогранником Ганнера, як добуток октаедра на відрізок.

Властивості

• Многогранники Ганнера центрально-симетричні.
• Будь-який многогранник Ганнера комбінаторно еквівалентний многограннику з координатами будь-якої вершини, що набувають значень 0, 1 або −1.
• Загальне число граней $d$-вимірного многогранника Ганнера дорівнює $3^d$.
  • $3^d$-гіпотеза Калаї полягає в тому, що це число мінімальне для центрально-симетричних многогранників.
• Протилежні грані многогранника Ганнера не перетинаються, і разом містять усі вершини многогранника.
  • Зокрема, опукла оболонка двох таких граней є весь многогранник.
    • Як наслідок, усі грані многогранника Ганнера мають однакове число вершин.
      • Однак грані можуть не бути ізоморфними одна одній. Наприклад, у восьмигранній 4-призмі дві грані є октаедрами, а решта вісім граней — трикутними призмами.
  • Двоїста властивість полягає в тому, що протилежні вершини суміжні з усіма гранями многогранника.
• Об'єм Малера, тобто добуток об'ємів самого многогранника і його двоїстого, для многогранника Ганнера той самий, що у й куба.
  • Гіпотеза Малера полягає в тому, що серед центрально-симетричних опуклих тіл цей об'єм досягає мінімуму на многогранниках Ганнера.
• Число комбінаторних типів многогранників Ганнера розмірності d таке саме, як число послідовно-паралельних графів з d ребрами. Для d = 1, 2, 3, …, це Шаблон:OEIS.

  1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, …