Метод статистичної лінеаризації

Ме́тод статисти́чної лінеариза́ції  — метод, що полягає в заміні нелінійних характеристик елементів систем автоматичного керування (САК) лінійною залежністю, еквівалентною в значенні наближення перших двох моментів закону розподілу вхідних координат. Сутність методу полягає в тому, що нелінійна залежність $Z(t)=F[X(t)](1)$
зв'язуюча вхідну $X(t)$ і вихідну $Z(t)$ випадкові змінні деякого елемента САК замінюється лінійною функцією вигляду

$Z{}_1(t)=a(t)[X(t)-\bar{x}(t)]+b(t)(2)$

де $\bar{x}(t)$— математичне сподівання випадкової величини $X(t)$, $a(t)$ і $b(t)$ — деякі невідомі (не випадкові) функції, які визначаються так, щоб $Z{}_1(t)$ найкращим чином апроксимувала $Z(t)$ у вищезгаданому значенні. Для збігу перших моментів (математичних сподівань) необхідне виконання рівності

$b(t)=M\{F[X(t)]\}(3)$

Функцію $a(t)$ визначають з умов наближення других моментів різними способами:

• 1) З умови рівності дисперсій $Z(t)$ і $Z{}_1(t)$ (функція $a(t)$тут позначається $a_1(t)$: ${\sigma }_x^2(t)\cdot a_1^2(t)={\sigma }_z^2(t)$, тобто

$a{}_1(t)=\pm \frac{\sigma {}_z(t)}{\sigma {}_x(t)}.(4)$
де знак в правій частині рівності повинен бути вибраний так, щоб характер зміни функцій $Z(t)$ і $Z{}_1(t)$ був однаковим (наприклад, якщо $Z(t)=X^3(t)$, то повинен бути узятий «+», а якщо $Z(t)=-signX(t)$, то повинен бути узятий «—»).

• 2) З умови мінімуму дисперсії різниці $[Z(t)-Z{}_1(t)]$ (тут функція $a(t)$позначена $a_2(t)$):

$\min D\{F[X(t)]-a_2(t)[X(t)-\bar{x}(t)]-b(t)\}.(5)$
Обчисливши значення дисперсії в (5) і мінімізувавши отриманий вираз по $a_2(t)$ відомими методами, отримаємо

$a_2(t)=\frac{k{}_{xz}(t)}{{\sigma }_x^2(t)},(6)$

де $k{}_{xz}$ — кореляційний момент $X(t)$ і $Z(t)$. Функції $a_1(t)$ і $a_2(t)$, природно, не збігаються між собою і не можуть бути вказані загальні міркування на користь того або іншого способу визначення $a(t)$. Виходячи з досвіду практичних розрахунків, рекомендується як $a(t)$ брати напівсуму $a{}_1(t)$ і $a{}_2(t)$: $a(t)=\frac{1}{2}[a_1(t)+a_2(t)].(7)$
Для обчислення виразів (3), (4), (6) необхідно мати закон розподілу (густина ймовірності) $f(x)$ ординати випадкової функції $X(t)$ у момент $t$. Тоді за загальними формулами для математичного сподівання можна визначити $b(t)=\bar{z}(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}F(x)f(x)dx;(8)$

${\sigma }_x^2(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{F}^2(x)f(x)dx-\overline{z^2}(t);(9)$
і
$k{}_{xz}(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xF(x)f(x)dx-\bar{x}(t)\bar{z}(t).(10)$

Тут $f(x)$ для нестаціонарних процесів $X(t)$ залежить від $t$ як від параметра. Метод застосовний і для нелінійних систем із зворотним зв'язком. В цьому випадку аргументом характеристики нелінійної ланки буде не вхідна функція $X(t)$, а сума $X(t)+Y(t)$ вхідної і вихідної функцій, а лінеаризувати належить $F[X(t)+Y(t)]$. Формально і тут можна покласти $F[X(t)+Y(t)]=a(t)[[X(t)+Y(t)]]+b(t).(11)$ Для визначення $a(t)$і $b(t)$ тут, окрім закону розподілу $f(x)$ необхідно мати також закон розподілу суми $X(t)+Y(t)$. Оскільки параметри $Y(t)$ невідомі, то звичайно при розрахунках вважають, що сума $X(t)+Y(t)$ задовольняє нормальному закону розподілу. Це припущення виправдано лише в тому і лише у тому випадку, коли в замкнутому контурі міститься лінійна інерційна ланка з великою сталою часу. Тоді, як відомо, розподіл вихідної координати $Y(t)$ наближається до нормального навіть при значних відмінностях закону розподілу на вході інерційного елемента від нормального.

Література

• Шаблон:ЕК
• Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М,, 1962 [библиогр. с. 873—878;
• Казаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М., 1962 [библиогр. с. 325—328].