Метод матриць переходу

Метод матриць переходу — метод розрахунку проходження хвиль через багатошарові середовища^[1], що дозволяє, зокрема, звести обчислення коефіцієнтів проходження та відбиття до простого множення матриць. Метод застосовується в оптиці, акустиці, квантовій механіці, при аналізі розсіяння нейтронів тощо. Наприклад, в оптиці його можна використати для розрахунків просвітленої оптики та діелектричних дзеркал.

Формулювання

В межах окремого шару багатошарової структури розв'язок хвильового рівняння можна записати у вигляді суперпозиції хвиль, що розповсюджуються в різні сторони

ψ (z) = a_{n} e^{i k_{n} z} + b_{n} e^{- i k_{n} z}

,

де $a_{n}$ та $b_{n}$ — невідомі коефіцієнти, що визначаються з граничних умов, а $k_{n}$ — хвильове число.

Нехай граничні умови на межі між шаром n та шаром n+1 для функції $ψ (z)$ є неперервність самої функції та її похідної:

{\begin{matrix} a_{n} e^{i k_{n} d_{n}} + b_{n} e^{- i k_{n} d_{n}} & = & a_{n + 1} + b_{n + 1} \\ i k_{n} a_{n} e^{i k_{n} d_{n}} - i k_{n} b_{n} e^{- i k_{n} d_{n}} & = & i k_{n + 1} a_{n + 1} - i k_{n + 1} b_{n + 1} . \end{matrix}

Тут $d_{n}$ — ширина n-го шару.

Вводячи вектор

ϕ_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})

,

ці граничні умови можна записати

L_{n} S_{n} ϕ_{n}^{T} = L_{n + 1} ϕ_{n + 1}^{T},

де

S_{n} = (\begin{matrix} e^{i k_{n} d_{n}} & 0 \\ 0 & e^{- i k_{n} d_{n}} \end{matrix})

L_{n} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ i k_{n} & - i k_{n} \end{matrix})

Тоді

L_{n} ϕ_{n}^{T} = L_{n} S_{n}^{- 1} L_{n}^{- 1} L_{n + 1} ϕ_{n + 1}^{T} = M_{n} L_{n + 1} ϕ_{n + 1}^{T} .

Усі властивості n-го шару (хвильове число, що визначається законом дисперсії для хвилі в шарі та товщина шару) зосереджені в матриці $M_{n}$ , яку називають матрицею переходу, матрицею трансляції, трансфер-матрицею.

Для розглянутої задачі трансфер-матриця дорівнює

M_{n} = L_{n} S_{n}^{- 1} L_{n}^{- 1} = (\begin{matrix} \cos k_{n} d_{n} & - \frac{1}{k_{n}} \sin k_{n} d_{n} \\ k_{n} \sin k_{n} d_{n} & \cos k_{n} d_{n} \end{matrix}) .

Трансфер-матриця багатошарової системи визначається добутком матриць переносу окремих шарів:

M = \prod_{n = 1}^{n} M_{n} .

Для визначення амплітуд відбитої хвилі та хвилі, що пройшла через систему, можна записати

L_{L} ϕ_{L}^{T} = M L_{R} ϕ_{R}^{T},

де індекси L та R позначають крайнє ліве напівнескінченне середовище, з якого хвиля надходить, та крайнє праве напівнескінченне середовище, куди хвиля проходить. Відповідно,

ϕ_{L}^{T} = (\begin{matrix} 1 \\ r \end{matrix}), ϕ_{R}^{T} = (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}) .

Отже,

(\begin{matrix} 1 \\ r \end{matrix}) = L_{L}^{- 1} M L_{R} (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}) = M^{t o t} (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}) .

Звідси, амплітуда хвилі, що пройшла через багатошарову систему, дорівнює

t = 1 / M_{11}^{t o t}

,

а амплітуда відбитої хвилі

r = M_{21}^{t o t} / M_{11}^{t o t} .

Коефіцієнти проходження та відбиття визначаються квадратами модулів цих величин

T = | t |^{2}, R = | r |^{2} .

В загальному випадку матеріали шарів можуть поглинати хвилі, і тоді хвильові числа — комплексні. Це не обмежує використання методу. Коефіцієнт поглинання дорівнює:

A = 1 - R - T .

Оптика

В оптиці вирази для трансфер матриці шару мають різний вигляд у залежності від поляризації електромагнітної хвилі. При нормальному падінні світла на межу розділу електромагнітна хвиля має s-поляризацію. Тоді хвильові числа визначаються законом дисперсії

k_{n}^{2} = \frac{ω^{2}}{c^{2}} ε_{n},

де $ω$ — циклічна частота, $c$ — швидкість світла, а $ε_{n}$ — діелектрична проникність шару. Граничними умовами для s-поляризації є неперервність тангенціальної компоненти напруженості електричного поля хвилі та нормальної компоненти вектора магнітної індукції, що пропорційний похідній від танггенціальної компоненти напруженості електричного поля, а тому матриці переходу мають вигляд, аналогічний викладеному в попередньому параграфі.

При похилому падінні крім s-поляризації існує ще p-поляризація. Ці два випадки вимагають окремого розгляду. Для обох поляризацій хвильове число визначається як

k_{n}^{2} = \frac{ω^{2}}{c^{2}} ε_{n} - q^{2},

де $𝐪$ - однакова для всіх шарів компонента хвильового вектора, паралельна поверхні розділу.

Для p-поляризації граничними умовами є неперервність тангенціальної компоненти напруженості магнітного поля хвилі та нормальної компоненти вектора електричної індукції, тому в граничні умови входять діелектричні проникності шарів.

Матриця $L_{n}$ набирає вигляду:

L_{n} = (\begin{matrix} ε_{n} & ε_{n} \\ i k_{n} & - i k_{n} \end{matrix}),

а трансфер-матриця шару:

M_{n} = L_{n} S_{n}^{- 1} L_{n}^{- 1} = (\begin{matrix} \cos k_{n} d_{n} & - \frac{ε_{n}}{k_{n}} \sin k_{n} d_{n} \\ \frac{k_{n}}{ε_{n}} \sin k_{n} d_{n} & \cos k_{n} d_{n} \end{matrix}) .

Виноски

Шаблон:Reflist

Шаблон:Physics-stub

↑ Born, M.; Wolf, E., Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. Oxford, Pergamon Press, 1964.

[1] Born, M.; Wolf, E., Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. Oxford, Pergamon Press, 1964.

[1]

Метод матриць переходу

Формулювання

Оптика

Виноски

Навігаційне меню

Пошук