Кільце Нетер

Кільце Нетер — в абстрактній алгебрі це таке асоціативне кільце з одиницею для якого справджується наступне твердження: нехай маємо деяку зростаючу послідовність ідеалів кільця:

$I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq \cdots ,$

тоді існує таке $n$ для якого:

$I_n=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots .$

Якщо ідеали в означенні ліві, то кільце називається лівим кільцем Нетер, якщо праві  - правим кільцем Нетер. Якщо твердження виконується і для лівих і для правих ідеалів то кільце просто називається кільцем Нетер. Дані кільця названі на честь німецького математика Еммі Нетер (Шаблон:Lang-de).

Альтернативні означення

Наступні два твердження є еквівалентними до означення кільця Нетер і, відповідно, самі можуть бути означеннями:

• Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожна непуста множина його ідеалів має максимальний елемент.
• Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожен його ідеал є скінченно породженим. Тобто для кожного ідеалу $I$ кільця $R$ існують такі елементи $a_1,a_2,\dots ,a_k\in R$, що $I=\{a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_k{x}_k:x_1,x_2,\dots x_k\in R\}$.

Приклади

Приклади кілець Нетер:

• Будь-яке поле, зокрема раціональні, дійсні та комплексні числа.
• Кільце цілих чисел.
• Кільце многочленів з скінченною кількістю змінних і цілочисельними коефіцієнтами

чи коефіцієнтами з деякого поля.

Приклади кілець, що не є кільцями Нетер

• Кільце многочленів, з нескінченною кількістю змінних.
• Кільце неперервних функцій з множини дійсних функцій в множину дійсних функцій.

Властивості

• Теорема Гільберта про базис: для довільного кільця Нетер A кільце многочленів $A[x]$ є кільцем Нетер.
• Якщо A є кільцем Нетер то будь-яке фактор-кільце по двохсторонньому ідеалу є кільцем Нетер

Див. також

• Нетеровий топологічний простір

Література

• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1
• Шаблон:Ленг.Алгебра