Коливальний контур

Колива́льний ко́нтур або коливний контур — електричне коло, складене з резистора, конденсатора та котушки індуктивності, в якому можливі коливання напруги й струму. Коливальні контури широко застосовуються в радіотехніці та електроніці, зокрема в генераторах електричних коливань, в частотних фільтрах. Вони використовуються практично в кожному електротехнічному пристрої.

RLC in serie circuit

Послідовний RLC-коливальний контур: V - напруга в контурі І - сила струму в контурі R - резистор L - котушка індуктивності C - конденсатор

Коливальний контур без джерела напруги

Коливальний контур, що складається із послідовно з'єднаних котушки індуктивністю $L$, конденсатора ємністю $C$ та активного резистора $R$ називається RLC-контуром.

В загальному випадку активний опір $R$ включає не тільки активні опори провідників, а й опір, зв'язаний з витратами на випромінювання, що виникає внаслідок відкритості конденсатора та індуктивності.

У випадку, коли активний опір малий, і ним можна знехтувати, коливальний контур називають LC-контуром.

В ланку коливального контуру можна додати перемикач для аналізу процесу накопичення зарядів на ємності.

Якісний опис

Нехай у певний момент часу на обкладинках конденсатора C існує певний заряд: додатній на одній із них, від'ємний на іншій. Оскільки обкладинки сполучені між собою колом, що складається з індуктивності і опору, то конденсатор почне розряджатися, а через коло потече струм. Збільшення струму на котушці індуктивності викликає в ній електрорушійну силу, яка діятиме проти струму, перешкоджаючи йому зростати миттєво. Крім того, проходячи через активний опір, струм буде викликати нагрівання цього опору за законом Джоуля-Ленца, призводячи до втрат енергії.

Сила струму в колі буде збільшуватися доти, доки на обкладинках конденсатора залишатиметься заряд. Тоді, коли заряд на обкладинках конденсатора дорівнюватиме нулю, сила струму в колі буде максимальною, і відтоді почне зменшуватися. Зменшення струму в індуктивності призводить до виникнення електрорушійної сили, яка намагатиметься сповільнити це зменшення, тому струм в колі не зменшиться до нуля миттєво, а продовжуватиме протікати, заряджаючи конденсатор уже оберненим зарядом. На обкладинці, зарядженій спочатку додатньо, зосереджуватиметься від'ємний заряд, і навпаки. Максимального значення заряд досягне тоді, коли струм через коло спаде до нуля. В цю мить на обкладинках конденсатора утвориться заряд майже рівний початковому, тільки з оберненим знаком. Зменшення заряду зумовлене втратами в активному опорі, що викликають зменшення струму перезарядки. Далі процес повторюється в зворотньому напрямку - конденсатор починає розряджатися, викликаючи в колі струм, індуктивність спочатку обмежує швидкість зростання струму, а потім швидкість його зменшення викликає електрорушійну силу , що втримує заряд, і, як наслідок, конденсатор знову заряджається.

Якщо втрати струму (на утворення тепла, на випромінювання електромагнітних хвиль тощо) невеликі, то коливання можуть продовжуватися дуже довго. У ідеальному випадку нульового опору - вічно. В реальних колах активний опір завжди існує, а тому реальні коливання завжди затухають.

Математичне формулювання

Основним критерієм розгляду є умова постійності сили струму у всіх точках контуру. Тобто сила струму в довільний момент часу повинна задовольняти всім законам притаманним постійному струму. Такий змінний струм називають квазістаціонарним. Диференціальне рівняння для класичного RLC-контуру записується для невідомої динамічної змінної - електричного заряду $q(t)$ і є математичним виразом закону Кірхгофа. Рівняння складається з трьох доданків - спадів напруги на індуктивності, на резисторі та напрузі на ємності, які в сумі повинні давати нуль:

$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$,

Розв'язок цього рівняння має вигляд:

$q(t)=A_0{e}^{-Rt/2L}\sin (\omega t+{\alpha }_0),\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$

де $\omega$ - резонансна частота контуру, $A_0$ - амплітуда коливань, ${\alpha }_0$ - фаза. Таким чином, при замиканні перемикача в RLC-контурі виникають затухаючі коливання. Тому цей контур і називають коливальним контуром. Декремент затухання коливань у контурі визначається активним опором за формулою:

$\beta =\frac{R}{2L}$.

Через цей коефіцієнт затухання можна виразити миттєву амплітуду коливань заряду конденсатора:

$A=A_0{e}^{-Rt/2L}=A_0{e}^{-\beta t}$.

Різниця потенціалів $\mathrm{\Delta }\varphi$ на обкладинках конденсатора пропорційна заряду $q$:

$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{q}{C}=\frac{A_0}{C}{e}^{-Rt/2L}\sin (\omega t+{\alpha }_0)$

Залежність сили струму в коливальному контурі від часу має вигляд:

$I=-\frac{dq}{dt}=A_0{e}^{-Rt/2L}\frac{R}{2L}\sin (\omega t+{\alpha }_0)-\omega \cos (\omega t+{\alpha }_0)$.

Якщо в початковий момент часу $t=0$ заряд на обкладках конденсатора дорівнював $q=q_0$, а струм в контурі був відсутній, то початкову фаза коливань ${\alpha }_0$ та їхня амплітуда дорівнюють:

${\alpha }_0=\text{arctg}\frac{\omega }{\beta }=\text{arctg}\sqrt{\frac{4L}{C{R}^2}-1},A_0=\frac{q_0}{\sin {\alpha }_0}=\frac{q_0}{\sqrt{1-\frac{C{R}^2}{4L}}}$.

Незатухаючі коливання

Якщо опір контуру зменшувати до нуля $R\to 0$, тоді в $LC-$ контурі виникають незатухаючі коливання, для яких справедливі такі співвідношення:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},{\alpha }_0=\frac{\pi }{2}$.

Заряди, напруги та струми в коливальному контурі будуть у цьому випадку рівні:

$q=q_0\sin ({\omega }_{0}t+\pi /2)$

$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{q_0}{C}\sin ({\omega }_{0}t+\pi /2)$

$I=-q_0{\omega }_0\cos ({\omega }_{0}t+\pi /2)$

Період власних незатухаючих коливань дорівнює

$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{LC}$ (12)

Ця формула вперше була отримана в 1853 році В. Томсоном, тому і називається формулою Томсона.

Струм $I(t)$ в контурі можна переписати у вигляді:

$I=-q_0{\omega }_0\cos ({\omega }_{0}t+\pi /2)=q_0{\omega }_0\sin {\omega }_{0}t$.

Тобто він відстає по фазі від різниці потенціалів на обкладках конденсатора на $\pi /2$. Амплітуда $I_0$ сили струму, та амплітуда $\mathrm{\Delta }\varphi$ різниці потенціалів дорівнюють:

$I_0=q_0{\omega }_0=q_0/\sqrt{LC},\mathrm{\Delta }\varphi =q_0/C$

тому

$I_0=\mathrm{\Delta }{\varphi }_0\cdot \sqrt{C/L}=\mathrm{\Delta }{\varphi }_0/\rho ,\rho =\sqrt{\frac{L}{C}}$,

де величину $\rho$ називають хвилевим опором контуру.

Закон збереження енергії

Повна енергія контуру складається із суми двох енергій: енергії заряду $q(t)$, накопиченого на ємності, $W_C$ та магнітної енергії на індуктивності $W_L$:

$W_{LC}=W_C+W_L=\frac{q(t{)}^2}{2C}+\frac{LI(t{)}^2}{2}=\frac{q(t{)}^2}{2C}+\frac{L}{2}{\left(\frac{dq(t)}{dt}\right)}^2$.

Максимальна енергія, що накопичується на ємності дорівнює максимальній енергії, що накопичується на індуктивності і дорівнює повній енергії контуру

$W_{C0}=\frac{C\mathrm{\Delta }{\varphi }_0^2}{2}=\frac{q_0^2}{2C}=\frac{L{I}_0^2}{2}=W_{L0}=W_{LC}$.

Коливальні контури із джерелом напруги

Послідовний контур

Послідовний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено послідовно.

Паралельний контур

Паралельний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено паралельно.

Висновки

В класичному коливальному контурі максимальне значення заряду на обкладках конденсатора завжди визначається початковими умовами. Скільки заряду $q_0$ посадили на ємність, стільки ж і буде брати участь в коливаннях у випадку незатухаючих коливань. У випадку затухаючих коливань, кількість заряду буде перманентно зменшуватися.

Див. також

• Гармонічний осцилятор
• Резонанс

Література

• Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики. Том 2. Электричество и магнетизм. Изд. 3-е, испр. И доп., М.:Высшая школа, 1966.- 412с.