Збіжність за Пуассоном — Абелем

Збіжність за Пуассоном — Абелем — узагальнення поняття збіжності ряду, яке запропонували Пуассон і Абель.

Визначення

Нехай $A$ — числовий ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Ряд $A$ називають збіжним за Пуассоном — Абелем, якщо існує границя:Шаблон:Sfn

$\underset{x\to 1-0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{a}_k{x}^k=s_p(A)$

Приклад

Розглянемо ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}$. Цей ряд збіжний за Пуассоном — Абелем: $\underset{x\to 1-0}{\lim }(1-x+x^2-...)=\underset{x\to 1-0}{\lim }\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}$

Властивості

• Якщо $A$ — збіжний ряд, то він збігається за Пуассоном — Абелем і $s_p(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{a}_k$Шаблон:Sfn.
• Якщо ряди $A$ і $B$ збіжні за Пуассоном — Абелем, то і їх добуток $C$ збігається за Пуассоном — Абелем і $s_p(A)s_p(B)=s_p(C)$Шаблон:Sfn.

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Ейлером

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Книга