Збіжність за Ейлером

Збі́жність за Е́йлером — узагальнення поняття збіжності знакозмінного ряду, запропоноване Ейлером.

Визначення

Нехай дано числовий ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Ряд називають збіжним за Ейлером, якщо існує границя:Шаблон:Sfn

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^k{a}_0}{2^{k+1}}=s_e(A)$

Приклад

• Розглянемо ряд $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{2}^k$. Послідовностями різниць будуть $1,2,4,8,16,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, $1,2,4,8,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, перетворення Ейлера приводить до ряду $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+...=\frac{1}{3}$.

Властивості

• Підсумовування за Ейлером є лінійним і регулярнимШаблон:Sfn.

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Книга