Збіжність за Борелем

Збіжність за Борелем — узагальнення поняття збіжності ряду, запропоноване французьким математиком Емілем Борелем. Загалом існує два нееквівалентні визначення, які пов'язують з іменем Бореля.

Визначення

• Нехай дано числовий ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Ряд називається збіжним за Борелем (або B-збіжним), якщо існує границя:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}{S}_k=S,$ де S_k — часткові суми ряду. Число S тоді називається борелівською сумою ряду.

• Нехай дано числовий ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Ряд називається збіжним за Борелем (або B^'-збіжним), якщо існує інтеграл:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{-t}\sum _n\frac{a_n}{n!}{t}^n=S$

Приклад

Розглянемо ряд $\sum _0^{\mathrm{\infty }}n!x^n.$ Цей ряд є розбіжним для довільного $x\ne 0.$ Проте за інтегральним визначенням збіжності за Борелем маємо:

$\sum _0^{\mathrm{\infty }}n!x^n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{-t}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(xt{)}^n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\frac{e^{-t}}{1-xt},$

і сума є визначеною для від'ємних значень x.

Властивості

Нехай функція:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$

регулярна в нулі і С — множина всіх її особливих точок. Через кожну точку $P\in C$ проведемо відрізок $OP$ і пряму $L_p,$ що проходить через точку Р перпендикулярно до $OP$. Множина точок, що лежать по одну сторону з нулем для кожної з прямих $L_p,$ позначимо $\mathrm{\Pi }$. Тоді межа $\mathrm{\Gamma }$ області $\mathrm{\Pi }$ називається многокутником Бореля функції f(z), а область $\mathrm{\Pi }$ її внутрішньою областю. Справедлива теорема: ряд

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$

є B-збіжним в області $\mathrm{\Pi }$ і не є B-збіжним в області ${\mathrm{\Pi }}^{*}$ — доповненні до $\mathrm{\Pi }$ .

Див. також

• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Ейлером
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Посилання

• Borel summation method Шаблон:Webarchive, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Borel Summation Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .