Зачеплення Гопфа

Зачеплення Гопфа
Позначення= L2a1
Число ниток = 2
Довжина коси= 2
Число перетинів= 2
Коефіцієнт зачеплення= 1
Гіперболічний об'єм= 0
Клас= тор

Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами Шаблон:Sfn, складається з двох кіл, зачеплених одноразовоШаблон:Sfn і назване на честь Гайнца Гопфа.Шаблон:Sfn

Геометричне подання

Конкретна модель складається з двох окремих кіл в перпендикулярних площинах, таких, що кожне проходить через центр іншогоШаблон:Sfn. Ця модель мінімізує Шаблон:Нп (довжина мотузки — інваріант теорії вузлів) зачеплення і до 2002 року зачеплення Гопфа було єдиним, у якого довжина мотузки була відома Шаблон:Sfn. Опукла оболонка цих двох кіл утворює тіло, зване олоїдом.Шаблон:Sfn

Властивості

Скейн-співвідношення для зачеплення Гопфа

Залежно від відносної орієнтації двох компонент коефіцієнт зачеплення Гопфа дорівнює ±1.Шаблон:Sfn

Зачеплення Гопфа є (2,2)-торичним зачепленнямШаблон:Sfn з описовим словомШаблон:Sfn ${\sigma }_1^2$.

Доповнення зачеплення Гопфа — $ℝ\times S^1\times S^1$, циліндр над торомШаблон:Sfn. Цей простір має локально евклідову геометрію, так що зачеплення Гопфа не є гіперболічним. Група вузлів зачеплення Гопфа (фундаментальна група його доповнення) — це ${\mathbb{Z}}^2$ (вільна абелева група на двох генераторах) і вона відрізняє зачеплення Гопфа від двох незачеплених кіл, яким відповідає вільна група на двох генераторах.Шаблон:Sfn

Зачеплення Гопфа не може бути Шаблон:Нп. Це безпосередньо випливає з факту, що зачеплення можна розфарбувати лише у два кольори, що суперечить другій частині визначення розмальовки. В кожному перетині буде максимум 2 кольори, так що при розфарбуванні ми порушимо вимогу мати 1 або 3 кольори в кожному перетині, або порушимо вимогу мати більше 1 кольору.

Розшарування Гопфа

Розшарування Гопфа — це неперервне відображення з 3-сфери (тривимірна поверхня в чотиривимірному евклідовому просторі) в більш звичну 2-сферу, таке, що прообраз кожної точки на 2-сфері є колом. Таким чином виходить розкладання 3-сфери на безперервне сімейство кіл і кожні два різних кола з цього сімейства утворюють зачеплення Гопфа. Цей факт і спонукав Гопфа зайнятися вивченням зачеплень Гопфа — оскільки будь-які два шари зачеплені, розшарування Гопфа є нетривіальним розшаруванням. З цього почалося вивчення Шаблон:Нп.Шаблон:Sfn

Історія

Герб Шаблон:Нп

Зачеплення названо ім'ям тополога Гайнца Гопфа, який досліджував його в 1931 році в праці про розшарування ГопфаШаблон:Sfn. Однак таке зачеплення використовував ще ГауссШаблон:Sfn, а поза математикою воно зустрічалося задовго до цього, наприклад, в якості герба японської буддійської секти Шаблон:Нп, заснованої в XVI столітті.

Див. також

• Катенани, хімічні сполуки з двома механічно зчепленими молекулами
• Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Книга-ру

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Hopf link Шаблон:Webarchive, The Knot Atlas