Загальне правило Лейбніца

Шаблон:Otheruses Шаблон:Числення Загальне правило Лейбніца — в диференціальному численні, це узагальнення правила добутку для обчислення n-ої похідної. Назване на честь Готфріда Вільгельма Лейбніца.

Воно стверджує, що якщо $f$ та $g$ є Шаблон:Mvar-раз диференційовними функціями, тоді добуток $f g$ також є Шаблон:Mvar-раз диференційовним і Шаблон:Mvar-та похідна рівна

(f g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k)},

де $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ — біноміальний коефіцієнт, а $f^{(j)}$ позначає j-ту похідну від f (зокрема $f^{(0)} = f$ ).

Формула доводиться використанням правила добутку та математичної індукції.

Друга похідна

(f \cdot g)^{″} = \sum_{k = 0}^{2} (\binom{2}{k}) f^{(2 - k)} g^{(k)} = f^{″} \cdot g + 2 f^{'} \cdot g^{'} + f \cdot g^{″}

Більше двох множників

Формула узагальнюється для m диференційовних функцій f₁,...,f_m.

{(f_{1} f_{2} \dots f_{m})}^{(n)} = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) \prod_{1 \leq t \leq m} f_{t}^{(k_{t})},

сума береться по всіх m-кортежах (k₁,...,k_m) не від'ємних цілих із $\sum_{t = 1}^{m} k_{t} = n,$ де $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m}!}$ — мультиноміальні коефіцієнти.

Доведення

Доведення методом математичної індукції. Для $n = 1$ формула: $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'},$ справедлива, бо є відомим правилом добутку. Нехай твердження справедливе для деякого $n \geq 1,$ тобто

(f g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k)} .

Тоді,

\begin{matrix} (f g)^{(n + 1)} & = [\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k)}] \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k + 1)} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n}{k - 1}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} \\ = (\binom{n}{0}) f^{(n + 1)} g^{(0)} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + (\binom{n}{n}) f^{(0)} g^{(n + 1)} \\ = (\binom{n + 1}{0}) f^{(n + 1)} g^{(0)} + (\sum_{k = 1}^{n} [(\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k})] f^{(n + 1 - k)} g^{(k)}) + (\binom{n + 1}{n + 1}) f^{(0)} g^{(n + 1)} \\ = (\binom{n + 1}{0}) f^{(n + 1)} g^{(0)} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + (\binom{n + 1}{n + 1}) f^{(0)} g^{(n + 1)} \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} . \end{matrix}

Тобто твердження справедливе для Шаблон:Nowrap що і потрібно було довести.

Для функції багатьох змінних

...

Див. також

Загальне правило Лейбніца

Зміст

Друга похідна

Більше двох множників

Доведення

Для функції багатьох змінних

Див. також

Навігаційне меню

Загальне правило Лейбніца

Друга похідна

Більше двох множників

Доведення

Для функції багатьох змінних

Див. також

Навігаційне меню

Пошук