Ергодичний розподіл

Визначення

Нехай$\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ — однорідний ланцюг Маркова з дискретним часом і зліченним числом станів. Позначимо

$p_{ij}^{(n)}=\mathbb{P}(X_n=j\mid X_0=i)$

перехідні ймовірності за $n$ кроків. Якщо існує дискретний розподіл $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,\dots {)}^{\mathrm{\top }}$, такий, що ${\pi }_i>0,i\in \mathbb{N}$ і

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{p}_{ij}^{(n)}={\pi }_j,\mathrm{\forall }i=1,2,\dots$,

то він називається ергодичним розподілом, а сам ланцюг називається ергодичним.

Основна теорема про ергодичні розподіли

Нехай $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ — ланцюг Маркова з дискретним простором станів і матрицею перехідних ймовірностей $P=(p_{ij}),i,j=1,2,\dots$. тоді цей ланцюг є ергодичним тоді і тільки тоді, коли він

1. нерозкладний;
2. додатнозворотний;
3. аперіодичний.

Ергодичний розподіл $\mathit{\pi }$ тоді є єдиним роз'язком системи:

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\pi }_i=1,{\pi }_j\ge 0,{\pi }_j=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\pi }_i{p}_{ij},j\in \mathbb{N}$.

Див. також

• Ланцюг Маркова
• Стаціонарний розподіл
• Ергодичність

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Гихман.Скороход.Введение в теорию случайных процессов