Евольвента

Приклад побудови евольвенти кривої

Евольвента (від Шаблон:Lang-la — що розгортає) плоскої лінії $L$  — це лінія $L_{*}$, по відношенню до якої $L$ є еволютою. Іншими словами, це крива, що описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки закріпленої в деякій точці, що змотується з плоскої кривої.

Рівняння евольвенти

Якщо лінія $l$ задана рівнянням $\overline{r}=\overline{r}(s)$ ($s$ — параметр довжини кривої), то рівняння властивості її евольвенти має вигляд

$\overline{\psi }=\overline{r}+(\alpha -s)\dot{\overline{r}}$,

де $\alpha$ — довільний параметр.

Для параметрично заданої кривої $(x(t),y(t))$ рівняння евольвенти

$X(t)=x(t)-\frac{x^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}}\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$

$Y(t)=y(t)-\frac{y(t{)}^{\prime }}{\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}}\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$

Приклад

Анімація побудови евольвенти кола

Евольвентою кола є спіралеподібна крива, котра описується кінцем гнучкої нерозтяжної нитки, що змотується з кола заданого радіуса. Рівняння евольвенти кола мають вигляд:

$x=r(\cos (t)+t\sin (t))$

$y=r(\sin (t)-t\cos (t))$

де $t$ — кут положення на колі точки дотику нитки до кола, a $r$ — радіус кола.

Побудова евольвенти кола заданого діаметра

Евольвента кола

Задане коло з діаметром $d$, з центром в точці $o$. Дане коло ділимо на дванадцять рівних частин. В точках 2, 3, 4. проводимо дотичні до кола, спрямовані в один бік. Точки евольвенти знаходимо виходячи з того, що при розгортанні кола точка $B^2$, повинна розміщатись від точки 2 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 2, а точка $B^3$, повинна розміщатись від точки 3 на відстані, рівній довжині дуги між точками 1 і 3 (дві довжини попередньої дуги), і так далі

Точне розташування точок евольвенти отримаємо, відкладаючи по дотичних довжини відповідних дуг. Довжину дуги між точками 1 і 2 визначається за формулою

$a=\frac{\pi d}{m},$

де $d$ — діаметр кола; $m$ — число частин, на яке розділено коло.

Отримавши низку точок евольвенти сполучаємо їх плавною лінією.

В даному випадку коло з діаметром $d$ є еволютою до цієї евольвенти.

Застосування

У техніці форму евольвенти кола мають:

• профіль зуба для коліс зубчастої передачі;
• форма кожуха радіального вентилятора;
• вихори потоків у циклонах та ін.

У системах автоматизованого проектування іноді використовують кубічні криві Безьє для наближеного опису евольвентних кривих у евольвентних зачепленнях.

Див. також

• Еволюта
• Евольвентне зачеплення
• Паралельна крива
• Рулета

Посилання

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Mathworld