Дужки Пуассона

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

{φ, g} = \sum_{i = 1}^{N} (\frac{\partial φ}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} - \frac{\partial φ}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}}),

де $φ$ й $g$ — будь-які функції узагальнених координат $q_{i}$ та узагальнених імпульсів $p_{i}$ , $N$ — кількість ступенів свободи системи.

Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

Властивості

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

{f, g} = - {g, f}

{α f + β g, h} = α {f, h} + β {g, h}

\frac{\partial}{\partial t} {f, g} = {\frac{\partial f}{\partial t}, g} + {f, \frac{\partial g}{\partial t}}

{f g, h} = {f, h} g + f {g, h}

{f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень — тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних $Q_{1}, . . ., P_{N}$

{φ, g} = \sum_{i}^{N} (\frac{\partial φ}{\partial P_{i}} \frac{\partial g}{\partial Q_{i}} - \frac{\partial φ}{\partial Q_{i}} \frac{\partial g}{\partial P_{i}}),

Якщо одна з функцій збігається з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:

{f, q_{i}} = \frac{\partial f}{\partial p_{i}}

{p_{i}, g} = \frac{\partial g}{\partial q_{i}}

Якщо замінити і другу фунцію

{q_{j}, q_{i}} = {p_{j}, p_{i}} = 0

{p_{j}, q_{i}} = δ_{j i}

Останні три тотожності — умова канонічності набору змінних $q_{1}, . . ., p_{N}$

Кожен інтеграл руху $ψ$ повинен задовільняти рівнянню

\frac{\partial ψ}{\partial t} + {ψ, H} = 0

.

У випадку, коли $ψ$ не залежить від часу явно,

{H, ψ} = 0

Зокрема, з огляду на теорему Ліувілля густина станів у фазовому просторі $ρ$ повинна задовільняти рівнянню Ліувілля

\frac{\partial ρ}{\partial t} + {ρ, H} = 0

.