Дуальний базис

В лінійній алгебрі, дуальний базис (спряжений базис) це множина векторів, що формують базис для спряженого простору векторного простору. Для векторного простору скінченної розмірності V дуальний простір V* ізоморфний до V, для будь-якої даної множини базисних векторів {e₁, …, e_n} V, існує відповідний дуальний базис {e¹,…,eⁿ} V* із співвідношенням

${𝐞}^i({𝐞}_j)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if }i=j\\ 0,& \text{if }i\ne j\text{.}\end{array}$

Іншими словами, ми можемо записувати вектори у n-вимірному векторному просторі V як n×1 колонкові матриці та елементи дуального простору V* як 1×n рядкові матриці, що діють як лінійні функціонали за допомогою добутку матриць зліва.

Наприклад, стандартні базисні вектори R² (Декартова система координат) є наступними:

$\{{𝐞}_1,{𝐞}_2\}=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}$

і стандартні базисні вектори дуального простору R²* наступні

$\{{{𝐞}_1}^{\prime },{{𝐞}_2}^{\prime }\}=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\}\text{.}$

У 3-вимірному просторі для даного базису {e₁, e₂, e₃} можна знайти біортогональний (дуальний) базис за наступними формулами:

$e_1^{*}=\frac{[e_2;e_3]}{(e_1;e_2;e_3)},e_2^{*}=\frac{[e_3;e_1]}{(e_1;e_2;e_3)},e_3^{*}=\frac{[e_1;e_2]}{(e_1;e_2;e_3)}$

Наприклад для стандартного базису в ${ℝ}^3$ {e₁, e₂, e₃}:

$𝐢=e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),𝐣=e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),𝐤=e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

базисні вектори дуального простору ${ℝ}^3$* отримуються аналогічно

$\{{𝐞}_1^{*},{𝐞}_2^{*},{𝐞}_3^{*}\}=\{\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)\}\text{.}$