Дотичний простір

Дотичний простір $T_{x}M$ і дотичний вектор $v\in T_{x}M$, подовж кривої $\gamma (t)$, що проходить через точку $x\in M$

Дотичний простір до гладкого многовиду $M$ в точці $x$ — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природну структуру векторного простору.

Дотичний простір до $M$ у точці $x$ зазвичай позначають $T_{x}M$ або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто $T_x$.

Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.

Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці $p$ підмноговиду.

У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.

Означення

Через диференціювання в точці

Нехай $M$ — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці $p$. Тобто простір операторів $X$ які дають число $Xf$ для кожної гладкої функції $f:M\to ℝ$, і володіють такими властивостями:

• Адитивність: $X(f+h)=Xf+Xh$
• Правило Лейбніца: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh)$

Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці $p$ можна ввести структуру лінійного простору:

$(X+Y)f=Xf+Yf$

$(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Через локальні координати

Нехай $M$ — гладкий многовид розмірності n, $x\in M$ і $\varphi$ — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо $C^{\mathrm{\infty }}(X,x,ℝ)$ множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці $x$ називається відображення:

$v:C^{\mathrm{\infty }}(X,x,ℝ)\to ℝ$

таке що існують дійсні числа $a_1,\dots ,a_n$ з наступною властивістю. Для довільної функції $f\in C^{\mathrm{\infty }}(X,x,ℝ),:$

$v(f)=\sum _{i=1}^n{a}_i\frac{\partial }{\partial r_i}(f\circ {\varphi }^{-1}){|}_{\varphi (x)}$

де $r_i$ — координати простору ${ℝ}^n.$

Визначення через криві

Нехай $M$ — гладкий многовид розмірності n, $p\in M$ і $\varphi$ — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві ${\gamma }_1,{\gamma }_2:(-1,1)\to M,$ такі що ${\gamma }_1(0)={\gamma }_2(0)=p.$ Тоді ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ називаються еквівалентними, якщо $\frac{d}{dt}(\varphi \circ {\gamma }_1)(0)=\frac{d}{dt}(\varphi \circ {\gamma }_2)(0).$ Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом $\frac{d}{dt}(\varphi \circ \gamma )(0)$ у ${ℝ}^n$ цю множину можна перетворити у векторний простір.

Властивості

• Дотичний простір $n$-вимірного гладкого многовиду є $n$-вимірним векторним простором.
• Для обраної локальної карти $x_1,\dots ,x_n$, оператори $X_{i}f=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$ являють собою базис $T_p$, який називають голономним базисом.

Пов'язані означення

• Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.

Див. також

• Дотичний вектор
• Дотичний простір Зариського
• Кодотичний простір

Джерела

• Шаблон:Зорич.Математичний аналіз.ч1
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.