Диференціальний інваріант

Диференціальним інваріантом називається інваріант дії групи Лі у просторі, що включає не лише функції а і їхні похідні. Диференціальні інваріанти є фундаментальними об'єктами для проективної диференціальної геометрії, зокрема, кривина часто вивчається саме з цієї точки зору. Диференціальні інваріанти були вперше введені Софусом Лі на початку 1880-ті рр. Стаття ( Lie 1884) була першою роботою з диференціальних інваріантів в якій встановлено взаємозв'язок між диференціальними інваріантами, інваріантами диференціальних рівнянь та інваріантними диференціальними операторами.

Диференціальні інваріанти контрастують з геометричними інваріантами. У той час як диференціальні інваріанти можуть включати визначений вибір незалежних змінних (або параметризацію), геометричні інваріанти цього не потребують. Метод рухомих кадрів, який є вдосконаленням методу рухомих кадрів Елі Картанa, надає кілька нових потужних інструментів для знаходження та класифікації еквівалентності та симетрії властивостей підманіфолдів, диференціальних інваріантів та їх синьоз. Хоча метод рухомих кадрів є менш загальним, ніж методи Лі диференціальних інваріантів, він завжди дає інваріанти геометричного типу .

Означення

Найпростіший випадок — це диференціальні інваріанти для однієї незалежної змінної x та однієї залежної змінної y . Нехай G  — група Лі, що діє на R². Тоді G також діє локально на просторі усіх графіків вигляду y = ƒ(x). Грубо кажучи, диференціальний інваріант k -го порядку є функцією

$I(x,y,\frac{dy}{dx},\dots ,\frac{d^{k}y}{d{x}^k})$

залежною від y та її k -х похідних відносно x , і яка є інваріантом відносно дії групи.

Група може діяти на похідні вищого порядку нетривіально, що вимагає обчислення продовження дії групи. Дія G на першу похідну, наприклад, є такою: якщо

$(\bar{x},\bar{y})=g\cdot (x,y),$

тоді

$g\cdot (x,y,\frac{dy}{dx})\stackrel{\text{def}}{=}(\bar{x},\bar{y},\frac{d\bar{y}}{d\bar{x}}).$

Подібні міркування застосовуються для обчислення вищих продовжень. Однак цей метод обчислення продовження дії непрактичний, і набагато простіше працювати на рівні алгебри Лі та похідної Лі вздовж дії G .

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation; English translation: Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:CitationШаблон:Dead link; to be published by Cambridge 2010, Шаблон:ISBN.

Посилання

• Invariant Variation Problems Шаблон:Webarchive