Дилогарифм

Дійсна і уявна частини функції ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(x)$

Дилогарифм — спеціальна функція в математиці, яка позначається ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(z)$ і є окремим випадком полілогарифма ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_n(z)$ при $n=2$. Дилогарифм визначається як

${\mathrm{Li}}_2(z)=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\ln (1-t)}{t}\mathrm{d}t=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^j}{j^2}.$

Наведене визначення дилогарифма правильне для комплексних значень змінної z. Для дійсних значень z = x у цій функції є розріз уздовж дійсної осі від 1 до $\mathrm{\infty }$. Зазвичай значення функції на розрізі визначається так, що уявна частина ділогарифма від'ємна:

$\mathrm{Im}[{\mathrm{Li}}_2(x)]=\{0(x\le 1);-\pi \ln x(x>1)\}$

Функцію ${\mathrm{Li}}_2(z)$ часто називають дилогарифмом Ейлера, на честь Леонарда Ейлера, який розглянув її 1768 року. Іноді дилогарифм називають функцією Спенса (Шаблон:Lang-en) або інтегралом Спенса на честь шотландського математика Вільяма Спенса (William Spence, 1777—1815), який на початку XIX століття досліджував функції, відповідні $-{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(-z)$ і ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(1-z)$. Назву «дилогарифм» увів Гілл (C.J. Hill) 1828 року.

Функціональні співвідношення

Для дилогарифма існує низка корисних функціональних співвідношень,

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(-z)=\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(z^2)$

${\mathrm{Li}}_2(1-z)+{\mathrm{Li}}_2(1-\frac{1}{z})=-\frac{1}{2}{\ln }^{2}z$

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(1-z)=\frac{1}{6}{\pi }^2-\ln z\ln (1-z)$

${\mathrm{Li}}_2(-z)+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{z}{1+z}\right)=-\frac{1}{2}{\ln }^2(1+z)$

${\mathrm{Li}}_2(-z)-{\mathrm{Li}}_2(1-z)+\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(1-z^2)=-\frac{1}{12}{\pi }^2-\ln z\ln (1+z)$

${\mathrm{Li}}_2(-z)+{\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{z})=-\frac{1}{6}{\pi }^2-\frac{1}{2}{\ln }^{2}z$

для дійсних $x>1$ ,

${\mathrm{Li}}_2(x)+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{3}{\pi }^2-\frac{1}{2}{\ln }^{2}x-\mathrm{i}\pi \ln x$

Відомі також співвідношення, що містять дві незалежні змінні — наприклад, тотожність Гілла:

${\mathrm{Li}}_2(xy)={\mathrm{Li}}_2(x)+{\mathrm{Li}}_2(y)-{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{x(1-y)}{1-xy}\right)-{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{y(1-x)}{1-xy}\right)-\ln \left(\frac{1-x}{1-xy}\right)\ln \left(\frac{1-y}{1-xy}\right)$

Окремі значення

${\mathrm{Li}}_2(0)=0$

${\mathrm{Li}}_2(1)=\frac{1}{6}{\pi }^2$

${\mathrm{Li}}_2(-1)=-\frac{1}{12}{\pi }^2$

${\mathrm{Li}}_2(\frac{1}{2})=\frac{1}{12}{\pi }^2-\frac{1}{2}{\ln }^{2}2$

Використовуючи співвідношення між функціями від x і 1/x, отримуємо

${\mathrm{Li}}_2(2)=\frac{1}{4}{\pi }^2-\mathrm{i}\pi \ln 2$

Існує також низка результатів для аргументів, пов'язаних з золотим перетином $\varphi =\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$,

${\mathrm{Li}}_2(-\varphi )=-\frac{1}{10}{\pi }^2-{\ln }^2\varphi$

${\mathrm{Li}}_2(-{\varphi }^{-1})=-\frac{1}{15}{\pi }^2+\frac{1}{2}{\ln }^2\varphi$

${\mathrm{Li}}_2({\varphi }^{-1})=\frac{1}{10}{\pi }^2-{\ln }^2\varphi$

${\mathrm{Li}}_2({\varphi }^{-2})=\frac{1}{15}{\pi }^2-{\ln }^2\varphi$

а також для дилогарифма уявного аргументу,

${\mathrm{Li}}_2(\pm \mathrm{i})=-\frac{1}{48}{\pi }^2\pm \mathrm{i}G$

де G — стала Каталана.

Співвідношення для окремих значень

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{18}{\pi }^2-\frac{1}{6}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{2})+\frac{1}{6}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{18}{\pi }^2+\ln 2\ln 3-\frac{1}{2}{\ln }^{2}2-\frac{1}{3}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{18}{\pi }^2+2\ln 2\ln 3-2{\ln }^{2}2-\frac{2}{3}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{3})-\frac{1}{3}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{18}{\pi }^2+\frac{1}{6}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{8})+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{2}{\ln }^2\left(\frac{9}{8}\right)$

$36{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{2}\right)-36{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{4}\right)-12{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{8}\right)+6{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{64}\right)={\pi }^2$

Функції, пов'язані з дилогарифмом

• Шаблон:Нп ${\mathrm{Cl}}_2(\theta )$

Виникає при розгляді дилогарифма, аргумент якого знаходиться на одиничному колі в комплексній площині,

${\mathrm{Li}}_2\left(e^{\mathrm{i}\theta }\right)=\frac{1}{6}{\pi }^2-\frac{1}{4}\theta (2\pi -\theta )+\mathrm{i}{\mathrm{Cl}}_2(\theta ),(0\le \theta \le 2\pi )$

Таким чином,

${\mathrm{Cl}}_2(\theta )=\mathrm{Im}\left[{\mathrm{Li}}_2\left(e^{\mathrm{i}\theta }\right)\right]=\frac{1}{2\mathrm{i}}[{\mathrm{Li}}_2\left(e^{\mathrm{i}\theta }\right)-{\mathrm{Li}}_2\left(e^{-\mathrm{i}\theta }\right)]$

• Функція Лобачевського

Ця функція використовується під час обчислення об'ємів у гіперболічній геометрії, і пов'язана з функцією Клаузена (а отже і з дилогарифмом),

$L(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\mathrm{d}\tau \ln |\cos \tau |=-\frac{1}{2}{\mathrm{Cl}}_2(\pi -2\theta )+\theta \ln 2$

Іноді використовується інше визначення функції Лобачевського,

$\mathrm{\Lambda }(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\mathrm{d}\tau \ln |2\sin \tau |=\frac{1}{2}{\mathrm{Cl}}_2(2\theta )$

• Інтегральний арктангенс ${\mathrm{Ti}}_2(y)$

Виникає під час розгляду дилогарифма уявного аргументу,

${\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}y)=\frac{1}{4}{\mathrm{Li}}_2(-y^2)+\mathrm{i}{\mathrm{Ti}}_2(y)$

Таким чином,

${\mathrm{Ti}}_2(y)=\mathrm{Im}[{\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}y)]=\frac{1}{2\mathrm{i}}[{\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}y)-{\mathrm{Li}}_2(-\mathrm{i}y)]$

• Функція Лежандра ${\chi }_2(z)$

Ця функція виражається через дилогарифми як

${\chi }_2(z)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2j+1}}{(2j+1{)}^2}=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_2(z)-{\mathrm{Li}}_2(-z)]$

Зокрема, ${\chi }_2(\mathrm{i}y)=\mathrm{i}{\mathrm{Ti}}_2(y)$ .

Посилання

• Шаблон:Книга Шаблон:MathSciNet
• Шаблон:Книга
• Don Zagier, The dilogarithm function (PDF) Шаблон:Webarchive
• Шаблон:MathWorld