Двовимірні многовиди

Двовимірні багатовиди мають деяку специфіку в порівнянні з багатовидами вищих розмірностей.

Одновимірність тензора Рімана

Оскільки в двовимірному випадку антисиметрична пара індексів $(ij)$ може тільки одну (з точністю до знаку) комбінацію $(12)=-(21)$, то тензор Рімана $R_{ijkl}$ з двома антисиметричними парами індексів має лише одну ненульову компоненту:

$(1)R_{1212}=-R_{2112}=R_{2121}=-R_{1221}$

легко перевірити, що алгебраїчна та диференціальна тотожності Біанкі не накладають на цю компненту ніяких обмежень. Дійсно, алгебраїчна тотожність з циклічною перестановкою перших трьох індексів:

$(2)R_{1212}+R_{2112}+R_{1112}=0$

задовольняється, оскільки другий протилежний першому (внаслідок антисиметрії $R_{ijkl}$ по першій парі індексів), а третій доданок дорівнює нулю. Те саме зауваження стосується і диференціальної тотожності Біанкі:

$(3){\mathrm{\nabla }}_1{R}_{12ps}+{\mathrm{\nabla }}_1{R}_{21ps}+{\mathrm{\nabla }}_2{R}_{11ps}=0$

В цій формулі друга пара індексів $(ps)$ теж дорівнює $(12)$, але ми таку підстановку навмисне не зробили, щоб підкреслити, що ця пара індексів не бере участі в циклічній перестановці.

Оскільки наведені вище міркування стосуються також тензора метричної матрьошки:

$(4)g_{ijkl}=\left|\begin{array}{cc}{g}_{ik}& g_{il}\\ g_{jk}& g_{jl}\end{array}\right|=g_{ik}{g}_{jl}-g_{il}{g}_{jk}$

То тензор Рімана будь-якого двовимірного багатовида виявляється пропорційним тензору метричної матрьошки:

$(5)R_{ijkl}=\lambda g_{ij,kl}$

Цікаво, що у вищих розмірностях формула (5) може бути справедливою лише для просторів постійної кривини. Дійсно, нехай буквою $n$ позначено розмірність багатовида. Тоді послідовними згортками із формули (5) знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:

$(6)R_{ik}=\lambda g^{jl}(g_{ik}{g}_{jl}-g_{il}{g}_{jk})=(n-1)\lambda g_{ik}$

$(7)R=g^{ij}{R}_{ij}=n(n-1)\lambda$

Ці два вирази ми можемо підставити в згорнуту диференціальну тотжність Біанкі:

$(8)2{\mathrm{\nabla }}^j{R}_{ij}={\mathrm{\nabla }}_{i}R$

$(8a)2(n-1){\mathrm{\nabla }}_i\lambda =n(n-1){\mathrm{\nabla }}_i\lambda$

$(8b)(n-2)(n-1){\mathrm{\nabla }}_i\lambda =0$

При $n>2$ перші два множника в формулі (8b) ненульові, а тому:

$(9){\mathrm{\nabla }}_i\lambda =\frac{\partial \lambda }{\partial u^i}=0;\lambda =\text{const}$

тобто коефіцієнт $\lambda$ однаковий для всього багатовида з розмірністю більшою двох.

Для двовимірних багатовидів ($n=2$) формула (8b) перетворюється на тотожний нуль, тому коефіцієнт $\lambda$ може змінюватися. Із формули (7) знаходимо, що $\lambda$ дорівнює Ґаусовій кривині другого степеня:

$(10)\lambda =\frac{R}{n(n-1)}=\frac{R}{2}=K^{[2]}=K$

Маємо такі формули для двовимірного багатовида:

$(11)R_{ijkl}=K{g}_{ij,kl}$

$(12)R_{ij}=K{g}_{ij}$

$(13)R=2K$

Ізотермічні координати

В вудь-якому двовимірному багатовиді можна вибрати (локально звичайно з огляду на топологію, в околі будь-якої точки) таку систему координат, що метричний тензор $g_{ij}$ буде пропорційним одиничній матриці:

$(14)g_{ij}=a{\delta }_{ij}=\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right]$

Такі координати називаються ізотермічними. Квадрат елемента відстані дорівнює:

$(15)d{s}^2=a((u^1{)}^2+(u^2{)}^2))$

Теорема Ґауса — Бонне

Для будь-якого гладкого замкнутого контуру $L$ на двовимірному багатовиді і обмеженої цим контуром області $\mathrm{\Omega }$ справедлива наступна формула:

$(16){\oint }_L{k}_{g}dl+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }Kds=2\pi \chi (\mathrm{\Omega })$

де перший інтеграл береться від геодезичної кривини контуру $L$, другий інтеграл береться від Ґаусової кривини, а $\chi =\chi (\mathrm{\Omega })$ є цілим числом - характеристикою Ейлера для області $\mathrm{\Omega }$. Докладніше ця теорема описана в статті Теорема Ґауса-Бонне.