Гіпотенуза

Гіпотенуза (від Шаблон:Lang-el — розтягнута) — сторона прямокутного трикутника, яка лежить навпроти прямого кута.

Якщо треба підрахувати довжину гіпотенузи при відомих розмірах двох інших сторін, можна скористатися теоремою Піфагора.

$a^2+b^2=c^2$,

де $a,b$ — сторони трикутника.

Наприклад, якщо одна з інших сторін має довжину 3, а інша має довжину 4, то квадрат гіпотенузи $c^2=3^2+4^2=25$, а довжина гіпотенузи $c=\sqrt{25}=5$.

Етимологія

Слово гіпотенуза походить від грецького Шаблон:Lang (а саме Шаблон:Lang або Шаблон:Lang), що означає «[сторона], яка стягує прямий кут» (Аполлодор), Шаблон:Lang hupoteinousa є активним дієприкметником теперішнього часу жіночого роду від дієслова Шаблон:Lang hupo-teinō «тягнути внизу, підтягувати», від Шаблон:Lang teinō «розтягувати». Номіналізоване Шаблон:Lang використовували для гіпотенузи трикутника в IV столітті до н. е. (Платон, Тімей 54d). Грецький термін Шаблон:Нп в пізню латинську мову як hypotēnūsa. Написання з -e, як hypotenuse, має французьке походження (Шаблон:Нп, 1520).

Обчислення гіпотенузи

Довжину гіпотенузи можна обчислити за допомогою функції квадратного кореня, що випливає з теореми Піфагора. Якщо позначити довжини двох катетів трикутника (взаємно перпендикулярних сторін) a і b, а довжину гіпотенузи — c, маємо

$c=\sqrt{a^2+b^2}.$

Теорему Піфагора, а отже, й цю довжину, можна також вивести із теореми косинусів, врахувавши, що кут навпроти гіпотенузи дорівнює 90° і його косинус дорівнює 0:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos 90^{\circ }=a^2+b^2\therefore c=\sqrt{a^2+b^2}.$

Багато комп'ютерних мов підтримують стандартну функцію ISO C hypot(x,y), яка повертає відповідне значення. Функція розроблена так, щоб не допускати збою там, де просте обчислення може спричинити переповнення або антипереповнення, і може бути дещо точнішою, проте, іноді, значно повільнішою.

Деякі наукові калькулятори надають функцію для перетворення прямокутних координат у полярні. За заданими x і y вона повертає як довжину гіпотенузи, так і кут, який вона утворює з додатним напрямом осі x. Повернений кут зазвичай задається як Шаблон:Нп(y,x).

Тригонометричні співвідношення

За допомогою тригонометричних співвідношень можна отримати значення двох гострих кутів, $\alpha$ і $\beta$, прямокутного трикутника.

Для довжини гіпотенузи $c$ і катета $b$, співвідношення таке:

$\frac{b}{c}=\sin (\beta )$

Тригонометрична обернена функція:

$\beta =\arcsin \left(\frac{b}{c}\right)$

де $\beta$ — кут, протилежний до катета $b$.

Прилеглий до катета $b$ кут $\alpha$ = 90° — $\beta$.

Можна також отримати значення кута $\beta$ з рівняння:

$\beta =\arccos \left(\frac{a}{c}\right)$

де $a$ — інший катет.

Див. також

• Катет
• Теорема Піфагора
• Тригонометрія

Посилання

• Гіпотенуза в Енциклопедії математики Шаблон:Webarchive
• Шаблон:MathWorld