Гіпотеза Коллатца

Гіпотеза Коллатца (гіпотеза 3n+1, гіпотеза 3x+1, проблема Коллатца, проблема 3n+1, проблема 3x+1, Сіракузька проблема) — одна з нерозв'язаних проблем математики, названа на честь німецького математика Лотара Коллатца, який запропонував її у 1937 році.

Сіракузька послідовність

Для пояснення суті гіпотези розглянемо наступну послідовність чисел, яка називається Сіракузькою послідовністю. Беремо будь-яке натуральне число n. Якщо воно парне, то ділимо його на 2, а якщо непарне, то множимо на 3 і додаємо 1 (отримуємо 3n + 1). Над отриманим числом виконуємо ті ж самі дії, і так далі.

Графік послідовності для числа 27

Наприклад, для числа 3 отримуємо:

3 — непарне, 3 × 3 + 1 = 10

10 — парне, 10:2 = 5

5 — непарне, 5 × 3 + 1 = 16

16 — парне, 16:2 = 8

8 — парне, 8:2 = 4

4 — парне, 4:2 = 2

2 — парне, 2:2 = 1

1 — непарне, 1 × 3 + 1 = 4

Очевидно, що, починаючи з 1, починають циклічно повторюватися числа 1, 4, 2.

Для числа 27 маємо : 27, 82, 41, 124 , 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

Послідовність прийшла до одиниці тільки через 111 кроків, досягнувши пікового значення 9232.

Гіпотеза Коллатца полягає в тому, що яке б початкове число ми не взяли, рано чи пізно ми отримаємо одиницю.

Числа — градини — також поширена назва для сукупності розглянутих послідовностей. Така назва виникла через те, що графіки послідовностей (див. ілюстрацію) схожі на траєкторію руху градин в атмосфері.

Проєкт «Collatz Conjecture»

У серпні 2009 року на платформі BOINC був запущений проєкт добровільних розподілених обчислень «Collatz Conjecture Шаблон:Webarchive», метою якого є перевірка гіпотези Коллатца на великих числах. Обчислювальний модуль проєкту може використовувати обчислювальні потужності сучасних відеокарт для одночасної обробки і вирахування послідовностей.

Візуалізація

• 
  Напрямлений граф, що показує орбіти невеликих чисел при відображенні карти Коллатца.
• 
  Напрямлений граф, що показує орбіти перших 1000 номерів.
• 
  х — стартовий номер
  у — найбільше число в ланцюгу на шляху до 1.

Аргументи на користь теорії

Хоча гіпотеза не була доведена, більшість математиків, які розглядали цю проблему, вважають гіпотезу істинною, тому що експериментальні дані і евристичні міркування підтримують її.

Ймовірнісний підхід

Якщо врахувати тільки непарні числа в послідовності, породженій процесом Коллатц, то кожне непарне число складає в середньому 3/4 попереднього. З цього витікає евристичний аргумент, що будь-яка послідовність чисел-градин повинна зменшуватись в довгостроковій перспективі, хоча це не є аргументом проти інших циклів, тільки проти дивергенції. Аргумент не є доказом, оскільки він припускає, що послідовності градини збираються з некорельованих ймовірнісних подій.

Строгі обмеження

Хоча достеменно не відомо чи всі додатні числа в кінцевому підсумку зводяться до одиниці відповідно до гіпотези Коллатца, відомо, що багато чисел дійсно зводяться. Зокрема, Красиков і Лагарис довели, що кількість цілих чисел в інтервалі [1, х], що в кінцевому підсумку зводяться до одиниці, принаймні пропорційна x^0.84.

Цикли

Шаблон:Див. також У цій частині розглянемо скорочену форму функції Коллатца$$f(n)=\{\begin{array}{cc}\frac{n}{2}& \text{if }n\equiv 0(\mathrm{mod}2),\\ [4px]\frac{3n+1}{2}& \text{if }n\equiv 1(\mathrm{mod}2).\end{array}$$Цикл — це послідовність Шаблон:Math різних натуральних чисел, де Шаблон:Math, Шаблон:Math, … і Шаблон:Math.

Єдиним відомим циклом є Шаблон:Math з періодом 2, який називають тривіальним циклом.

Довжина циклу

Відомо, що довжина нетривіального циклу становить не менше Шаблон:Val. Точніше, Еліаху довів, що період Шаблон:Mvar будь-якого нетривіального циклу має вигляд$$p=301994a+17087915b+85137581c$$де Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar — цілі невід'ємні числа, Шаблон:Math і Шаблон:Math (тобто, хоча б одне з чисел a чи c дорівнює нулю). Цей результат ґрунтується на розкладі Шаблон:Math в ланцюговий дріб.

Подібне міркування, яке враховує нещодавню перевірку гіпотези до Шаблон:Math, призводить до покращеної нижньої межі Шаблон:Val (або Шаблон:Val без «ярлика»). Ця нижня межа узгоджується з наведеним вище результатом, оскільки Шаблон:Nobr

Шаблон:Mvar-цикли

Шаблон:Mvar -цикл — це цикл, який можна розбити на Шаблон:Math неперервних підпослідовностей: Шаблон:Mvar послідовностей непарних чисел, що зростають, які чергуються з Шаблон:Mvar спадними послідовностями парних чисел. Наприклад, якщо цикл складається з однієї зростаючої послідовності непарних чисел, за якою йде спадна послідовність парних чисел, він називається 1-циклом.

Штайнер (1977) довів, що не існує 1-циклу, крім тривіального Шаблон:Math. Сімонс (2005) за допомогою методу Штайнера довів, що не існує 2-циклу. Сімонс і де Вегер (2005) розширили це доведення до 68-циклів: немає Шаблон:Mvar-циклу до Шаблон:Math. Для кожного Шаблон:Math поза 68 цей метод дає верхню межу для найменшого члена Шаблон:Mvar-циклу: наприклад, якщо є 77-цикл, тоді принаймні один елемент циклу менший за Шаблон:Gaps. Разом із перевіркою гіпотези до Шаблон:Math це означає відсутність нетривіального Шаблон:Mvar-циклу до Шаблон:Math. У міру просування комп'ютерних пошуків, більші значення Шаблон:Math можуть бути виключені. Простішими словами: нам не потрібно шукати цикли, які мають щонайбільше 77 циклів, де кожен контур складається з послідовних підйомів, за якими йдуть послідовні спади.

Див. також

• BOINC
• Відкриті математичні питання

Література

• Хейєс, Браян. Злети та падіння чисел-градин // В світі науки (Scientific American, видання російською мовою). — 1984. — № 3. — С. 102—107.

Посилання

• Проблема 3x+1 Шаблон:Webarchive — стаття на сайті вчителя математики, Сербіної Надії Олексіївни.
• Collatz Conjecture Шаблон:Webarchive — проект розподілених обчислень на платформі BOINC з перевірки гіпотези Коллатца на великих числах.
• On the 3x + 1 problem Шаблон:Webarchive — проект розподілених обчислень, заснований Еріком Рузендалем (Eric Roosendaal), з перевірки гіпотези Коллатца на великих числах.
• Аналітичний підхід до проблеми Коллатца Шаблон:Webarchive.