Гранична точка

Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.

Визначення

Нехай задано топологічний простір $(X,𝒯)$, де $X$ — довільна множина, а $𝒯$ — означена на $X$ топологія. Нехай також задано підмножину $A\subset X$. Точка $x\in X$ називається граничною точкою множини $A$, якщо для будь-якої відкритої множини $U\in 𝒯$, такої що $x\in U$ виконується

$(U\setminus x)\cap A=\mathrm{\varnothing }$.

У разі якщо $A\subset ℝ$, точка $x_0$ називається граничною точкою множини A, якщо $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }x\in A\setminus \{x_0\}:|x-x_0|<\epsilon$

Для послідовності точок $\{x_n\}$ в топологічному просторі граниною точкою $x$ буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок ${}_n$ послідовності.

Пов'язані поняття

• Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається $A^{\prime }$.
• Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається $\overline{A}$ або $[A]$.

Властивості

• У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A$, що цілком лежить в A і така, що $x_n\to x$ при $n\to \mathrm{\infty }$.
  • Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
• Не всяка точка множини A мусить бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не конче їй належить.
• Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хочаб одну граничну точку.
• Границя послідовності точок в топологічному просторі $(X,𝒯)$ завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір $(X,𝒯)$ задовільняє першу аксіому зліченності.

Джерела

• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2