Гранична ознака порівняння

Шаблон:Числення Гранична ознака порівняння (на відміну від пов'язаної прямої ознаки порівняння) — це математичний критерій збіжності, який використовується для визначення збіжності чи розбіжності нескінченного ряду.

Твердження

Нехай задано два ряди $\sum _n{a}_n$ і $\sum _n{b}_n$, де $a_n\ge 0$, $b_n>0$ для будь-якого $n$. Якщо $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}=c$, причому $0<c<\mathrm{\infty }$, тоді обидва ряди або збіжні або навпаки є розбіжними.

Доведення

Оскільки $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}=c$, то для будь-якого $\epsilon >0$ існує натуральне число $n_0>0$ таке, що всіх $n\ge n_0$, виконується нерівність $|\frac{a_n}{b_n}-c|<\epsilon$, що рівносильно:

$-\epsilon <\frac{a_n}{b_n}-c<\epsilon$

$c-\epsilon <\frac{a_n}{b_n}<c+\epsilon ,$

$(c-\epsilon )b_n<a_n<(c+\epsilon )b_n.$

Оскільки $c>0$, то можемо обрати $\epsilon$ як завгодно малим, щоб $c-\epsilon >0$. Тоді $b_n<\frac{1}{c-\epsilon }{a}_n$, і за ознакою порівняння, якщо ряд $\sum _n{a}_n$ є збіжним, то збіжним буде і ряд $\sum _n{b}_n$.

Аналогічно для $a_n<(c+\epsilon )b_n$, якщо ряд $\sum _n{a}_n$ є розбіжним, то знову ж таки за ознакою порівняння розбіжним буде і ряд $\sum _n{b}_n$.

Отже, обидва ряди є збіжними, або розбіжними.

Приклад

Визначимо, чи буде збіжним ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+2n}.$

Для цього порівняємо його зі збіжним рядом

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$

Оскільки

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+2n}\frac{n^2}{1}=1>0,$

тому початковий ряд також є збіжним.

Одностороння версія

Односторонню версію граничної ознаки порівняння можна сформулювати за допомогою верхньої та нижньої границі. Нехай $a_n,b_n\ge 0$ для будь-яких $n$. Тоді, якщо

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}=c,0\le c<\mathrm{\infty },$

$\sum _n{b}_n$ є збіжним, тоді ряд $\sum _n{a}_n$ обов'язково буде збіжним.

Приклад

Нехай $a_n=\frac{1-(-1{)}^n}{n^2}$ і $b_n=\frac{1}{n^2}$ для будь-яких $n$. Тоді

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(1-(-1{)}^n)$

не існує, і в цьому випадку не можна використовувати стандартну версію граничної ознаки порівняння. Однак

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(1-(-1{)}^n)=2\in [0,\mathrm{\infty }),$

ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ є збіжним, і тому згідно з односторонньою версією граничної ознаки порівняння ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-(-1{)}^n}{n^2}$ буде збіжним.

Обернена одностороння версія

Нехай $a_n,b_n\ge 0$ для будь-якого $n$. Якщо ряд $\sum _n{a}_n$ розбіжний, а $\sum _n{b}_n$ збіжний, тоді обов'язково

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}=\mathrm{\infty }$

або

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{b_n}{a_n}=0.$

Головним тут є те, що у деякому сенсі числа $a_n$ більші за числа $b_n$.

Приклад

Нехай функція $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ — аналітична на одиничному крузі

$D=\{z\in ℂ:|z|<1\},$

і має образ скінченної площі. Відповідно до формули Парсеваля площа образу функції $f$ дорівнює $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n|a_n{|}^2$. Крім того, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1/n$ є розбіжним. Отже, згідно з оберненою граничною ознакою маємо

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{n|a_n{|}^2}{1/n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(n|a_n|{)}^2=0,$

тобто

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}n|a_n|=0.$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR Шаблон:Webarchive)
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR Шаблон:Webarchive)

Зовнішні лінки

• Pauls Online Notes on Comparison Test Шаблон:Webarchive