Границя доданків ряду

Шаблон:Числення Границя доданків ряду — для ряду $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ можна побудувати послідовність $\{a_k\}$ із його доданків і пошукати її границю.

• Існування нульової границі цієї послідовності $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ є простою необхідною умовою збіжності ряду.
• Існування ненульової границі є ознакою (достатньою умовою) розбіжності ряду.

Доведення

Припустимо, що ряд збігається. За визначенням збіжності ряду послідовність $s_k=\sum _{i=1}^k{a}_i$, а отже, і послідовність $(s_{k+1})$ збігаються до деякої спільної скінченної границі $s$. Але $(a_{k+1})=(s_{k+1})-(s_k)$ і з властивостей границі послідовності $(a_{k+1})\stackrel{}{\to }s-s=0$, тобто послідовність $(a_k)$ збігається до нуля.

Зауваження

Дана ознака є тільки достатньою, але не необхідною умовою розбіжності, тобто з того, що $(a_k)$ збігається до нуля не випливає збіжність ряду.

Так, гармонічний ряд $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$ є розбіжним, хоча його доданки прямують до нуля.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр