Гомоморфізм груп

Шаблон:Теорія груп Гомоморфі́зм груп — відображення $\varphi$ групи $(G,*)$ в групу $(H,\cdot )$, що зберігає групову операцію, тобто:

$\varphi :G\to H:\varphi (x*y)=\varphi (x)\cdot \varphi (y)\mathrm{\forall }𝑥,𝑦\in G$.

Гомоморфізм зберігає всі відношення, основані на заданій операції, тобто, одиниця групи $(G,*)$ переходить в одиницю групи $(H,\cdot )$; обернені елементи переходять в обернені.

Тоді:

Ядро гомоморфізму — підмножина всіх елементів $(G,*)$, що відображаються в одиницю групи $(H,\cdot )$:

$ker\varphi =\{x\in G:\varphi (x)=e_H\}$.

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів $H$, що є образами елементів $G$:

$im\varphi =\varphi (G)$.

Властивості

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно-однозначним відображеням.

Приклад гомоморфізму: зіставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

$\varphi (A)=\det (A),A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℝ)$,

що є відображенням групи ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℝ)$ невироджених лінійних перетворень простору ${ℝ}^n$ на мультиплікативну групу дійсних чисел ${ℝ}^{*}=ℝ\setminus \{0\}$.

Як добре відомо, $\det (AB)=\det (A)\det (B)$.

Див. також

• Гомоморфізм
• Ізоморфізм груп
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Кон.Универсальная алгебра
• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Ленг.Алгебра
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups