Геометричний броунівський рух

Геометричний броунівський рух (GBM) — випадковий процес з неперервним часом, логарифм якого являє собою броунівський рух(вінерівський процес). GBM застосовується з метою моделювання ціноутворення на фінансових ринках і використовується переважно в моделях ціноутворення опціонів, оскільки GBM може приймати будь-які додатні значення. GBM є розумним наближенням до реальної динаміки цін акцій, не враховує, однак, рідкісні події (викиди).

Випадковий процес S_t є GBM, якщо він задовольняє наступне стохастичне диференціальне рівняння:

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$

де $W_t$ є броунівський рух, а $\mu$ («параметр сноса») і $\sigma$ («параметр волатильності») постійні.

Для довільного початкового значення S₀ дане СДР має розв'язки

$S_t=S_0\exp ((\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t),$

що є логнормально розподілена випадкова величина з математичним очікуванням $𝔼(S_t)=e^{\mu t}{S}_0$ і дисперсією $\mathrm{Var}(S_t)=e^{2\mu t}{S}_0^2(e^{{\sigma }^{2}t}-1).$

Коректність рішення може бути встановлена з використанням леми Іто. Випадкова величина log(S_t/S₀) розподілена нормально з маточікуванням $(\mu -{\sigma }^2/2)t$ і дисперсією ${\sigma }^{2}t$, що означає, що прирости GBM нормальні, що дає можливість говорити про «геометричність» процесу.

Література

• Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 408 с.