Гаусівський пучок

Гаусівський пучок (син. Гаусів пучок) — пучок електромагнітного випромінювання, в якому розподіл електричного поля і випромінювання в поперечному перерізі добре апроксимується функцією Гауса. Когерентний світловий пучок з гаусовим розподіленням поля має фундаментальне значення в теорії хвильових пучків. Цей пучок називають основною модою на відміну від інших мод більш високого порядку.

Математичний опис

Шукається розв'язок наведеного хвильового рівняння, що описує поширення такого пучка у вигляді:

$\mathrm{\Psi }=u(x,y,z)e^{ikz}$,

де $u(x,y,z)$ — повільно змінювальна комплексна функція, яка і визначає властивості лазерного пучка, що відрізняють його від плоскої хвилі. Застосування оператора Δ до функції Ψ дає:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }=(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}+2ik\frac{\partial u}{\partial z}-k^{2}u)e^{ikz}$.

Якщо у виразі знехтувати другою похідною $u$ по $z$ в порівнянні з першою, то на підставі наведеного хвильового рівняння Гельмгольца виходить рівняння:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+2ik\frac{\partial u}{\partial z}=0$.

Отримане рівняння відноситься до рівнянь параболічного типу, а саме наближення, в рамках якого воно було отримано, називається параболічним наближенням. Неважко показати, що рівняння буде задовольняти гаусів пучок, амплітуда якого змінюється по поперечній координаті гаусового закону.

Для гаусового пучка можна записати вираз:

$u=a\exp \left[i(p+\frac{k}{2q}{r}^2)\right]$,

де r²=x²+y². Параметр р — комплексний фазовий зсув при розповсюджені світла уздовж осі z, а q — комплексний параметр пучка, що визначає гаусовий розподіл поля по координаті r, де r — відстань від осі. Крім того, q визначає кривизну хвильового фронту, який поблизу осі є сферичним.

Розглянемо властивості гаусового пучка з довжиною хвилі λ більш докладно. Для цього висловимо комплексний параметр q через два дійсних параметра пучка R і w

$\frac{1}{q}=\frac{1}{R}+i\frac{\lambda }{\pi w^2},$

де R — це радіус кривизни хвильового фронту, а w характеризує зміну поля Е в поперечній площині (параметр w прийнято називати шириною пучка). Розподіл поля в цій площині, підкоряється закону Гауса, і w дорівнює відстані, на якому амплітуда поля зменшується в е разів у порівнянні з полем на осі.

Властивості пучка

Ширина гаусового пучка w(z) як функція z. w₀: горловина пучка; b: глибина різкості; z_R: довжина Релея; Θ: кутова розбіжність пучка

Ширина пучка

В деякій площині, так званою горловиною каустичної поверхні або перетяжкою, гаусів пучок стягується до мінімальної ширини w₀. У цій площині, від якої доцільно відраховувати відстань z, фазовий фронт є плоским, і комплексний параметр пучка стає чисто уявним:

$q_0=\frac{\pi w_0^2}{i\lambda },z_R=i{q}_0,$

де z_R — довжина Релея. Тоді ширина пучка на відстані z задається наступною формулою:

$w(z)=w_0\sqrt{1+{\left(\frac{\lambda z}{\pi w_0^2}\right)}^2}$

Радіус кривизни

Залежність радіуса кривизни від координати:

$R(z)=z(1+{\left(\frac{\pi w_0^2}{\lambda z}\right)}^2)$

Розбіжність пучка

Твірна пучка w(z) представляє собою гіперболу, асимптота якої нахилена до осі під кутом

$\theta =\frac{\lambda }{\pi w_0}$.

Цей кут дорівнює куту дифракції основної моди в дальній зоні.

Загальна кутова розбіжність пучка складе

$\mathrm{\Theta }=2\theta$.

Моди вищих порядків

Перші дев'ять ермітово-гаусових мод

Гаусові пучки — всього один з можливих розв'язків параксіального хвильового рівняння. Лазерні пучки можна моделювати комбінаціями різних ортогональних розв'язків. У загальному випадку, якщо визначено повний базис розв'язків, то будь-який пучок можна описати як суперпозицією розв'язків з базису.