Гамільтонів принцип

Шаблон:UniboxПри́нцип Га́мільтона — у механіці системи матеріальних точок означає таке:

Перехід з одного стану в інший за заданий інтервал часу $[t_0,t_1]$ відбувається для системи такого роду так, що перша варіація функціонала

$I=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(T-U)dt$

дорівнює нулю: рух системи здійснюється функціями, які серед всіх допустимих рухів роблять згаданий вище інтеграл стаціонарним, тобто рівняння руху системи збігається з рівнянням Ойлера-Лаґранжа для функціонала $I$. При цьому $T$ означає кінетичну, а $U$ — потенційну енергії системи, а $L=T-U$ — функцію Лагранжа. Інтерес тут фокусується в першу чергу на зверненні першої варіації функціонала $I$ у нуль, а не на питанні про екстремум. Завдання такого роду також називають варіаційними завданнями.

Принцип Гамільтона є одним із формулювань принципу найменшої дії.

Приклад

Нехай матеріальна точка рухається під впливом сили тяжіння (вільне падіння). При цьому для кінетичної і потенційної енергії мають місце формули:

$T=\frac{m\cdot y{\text{'}}^2}{2}$

$U=m\cdot g\cdot y$

($m$ — маса, $y(t)$ — висота точки до часу $t_0$)

Інтеграл для функції Лагранжа:

$I(y)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(T-U)dt=m\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}({y^{\prime }}^2/2+gy)dt$

Згідно з принципом Гамільтона рівняння руху системи є рівняння Ейлера-Лаґранжа для функціонала $I(y)$:

$mg-m\frac{d{y}^{\prime }}{dt}=0$,

тобто $y^{″}=g$

таким чином

$y(t)=C_1+C_{2}t+\frac{g\cdot t^2}{2}$

Це — рівняння руху для вільного падіння.

Відомий з механіки принцип Гамільтона можна перенести і на інші фізичні процеси, так що варіаційні принципи є загальним методом складання рівнянь у математичній фізиці.

Інші завдання

Разом із завданнями для функціоналів вигляду

$I(y)=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}f(x,y,y^{\prime })dx$

існують також і інші постановки завдань.

Як необхідні умови екстремуму указуються тільки рівняння Ойлера-Лаґранжа. Існують і інші необхідні умови, аналогічні приведеним вище.

Значення

Варіаційне числення грає основоположну роль в складанні рівнянь механіки і теоретичної фізики. Більшість цих рівнянь можуть бути отримані на основі варіаційного принципу за допомогою поняття енергії.

Див. також

• Принцип найменшої дії
• Механіка Лагранжа
• Гамільтонова механіка

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.