Вільний добуток

У теорії груп вільним добутком груп називається нова група, що породжується елементами своїх множників і містить їх, як свої підгрупи. Операція вільного добутку груп має важливе значення у комбінаторній теорії груп і алгебричній топології.

Означення

Вільним добутком множини груп $G_{i}, i \in I$ , називається група $G$ , породжена елементами груп $G_{i}$ .

Кожен елемент вільного добутку $G$ , що не дорівнює одиниці єдиним чином можна записати у вигляді нескоротного слова $g_{i_{1}} g_{i_{2}} \dots g_{i_{k}}$ , де кожен елемент $g_{i_{j}}$ є неодиничним елементом деякої групи $G_{i}$ і два сусідні елементи в слові належать різним групам. Добутком при цьому є слово, що отримується внаслідок конкатенації двох слів і подальшого зведення. Зведення полягає в тому, що якщо в слові зустрічаються підряд два елемента, що належать одній групі $g_{1}, g_{2} \in G_{i}$ то вони заміняються своїм добутком у групі якій вони належать. Якщо добутком є одиничний елемент то його треба вилучити. Одиницею в групі можна вважати пусту стрічку.

Для позначення вільного добутку використовується знак $*$ , наприклад $G = \underset{i \in I}{∐} * G_{i}$ або $G = G_{1} * G_{2} * \dots * G_{n}$ для скінченної множини $I$ .

Нехай $G, H$ - групи. Розгляньмо множину $\overline{G * H}$ , яка складається з ланцюжків (слів) вигляду $g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} . . . g_{n} h_{n},$ де $g_{i} \in G, h_{i} \in H .$ Розгляньмо відношення еквівалентності, породжене співвідношеннями

$g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} . . . g_{i} h_{i} g_{i + 1} h_{i + 1} . . . g_{n} h_{n} \sim g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} . . . g_{i} g_{i + 1} h_{i + 1} . . . g_{n} h_{n},$

якщо $h_{i} = 1,$ та

$g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} . . . g_{i} h_{i} g_{i + 1} h_{i + 1} . . . g_{n} h_{n} \sim g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} . . . g_{i} h_{i} h_{i + 1} g_{i + 2} . . . g_{n} h_{n},$

якщо $g_{i + 1} = 1 .$ Іншими словами, у кожному слові усі комбінації виду $g_{1} 1 g_{2}$ можна замінити на $g_{1} g_{2},$ a $h_{1} 1 h_{2}$ на $h_{1} h_{2} .$ Множина класів еквівалентності позначається $G * H .$ Слова можна множити:

$g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} . . . g_{n} h_{n} \cdot g_{1^{'}} h_{1^{'}} g_{2^{'}} h_{2^{'}} . . . g_{n^{'}} h_{n^{'}} : = g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} . . . g_{n} h_{n} g_{1^{'}} h_{1^{'}} g_{2^{'}} h_{2^{'}} . . . g_{n^{'}} h_{n^{'}} .$

Такий добуток є асоціативним. Таким чином,

$g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} . . . g_{n} h_{n} h_{n}^{- 1} g_{n}^{- 1} . . . h_{2}^{- 1} g_{2}^{- 1} h_{1}^{- 1} g_{1}^{- 1} = 1,$

відповідно, $G * H$ - це група. Група $G * H$ є вільним добутком (амальгамою, або кодобутком) груп $G, H .$

Нехай тепер $\overline{\underset{i}{∐} G_{α}}, α \in I,$ складається із слів вигляду $g_{1} g_{2} g_{3} . . . g_{n},$ складених з букв $g_{i} \in G_{α_{i}}$ . Відношення еквівалентності, породжене даними відношеннями

$g_{1} g_{2} . . . g_{i} g_{i + 1} g_{i + 2} . . . g_{n} \sim g_{1} g_{2} . . . g_{i} g_{i + 2} . . . g_{n},$

якщо $g_{i} = 1$ (можна викинути із слова букву $g_{i + 1},$ якщо $g_{i + 1} = 1$ ), та

$g_{1} g_{2} . . . g_{i - 1} g_{i} g_{i + 1} g_{i + 2} . . . g_{n} \sim g_{1} g_{2} . . . g_{i - 1} (g_{i} g_{i + 1}) g_{i + 2} . . . . g_{n},$

якщо $g_{i}, g_{i + 1} \in G_{α}$ (можна згрупувати послідовно розташовані букви $g_{i}, g_{i + 1}$ у $(g_{i} g_{i + 1}),$ якщо вони обидві належать одній і тій самій групі $G_{α}$ ).

Добуток на зворотний елемент у

$\underset{α}{∐} G_{α} : = \overline{\underset{α}{∐} G_{α}} / \sim$

визначаються тими самими формулами, що й для $G * H$ . ^[1]

За допомогою задання груп

Конструкція вільного добутку є важливою у вивченні груп, заданих множиною породжуючих елементів і визначальних співвідношень. У цих термінах вільний добуток може бути визначений в такий спосіб.

Нехай кожна група $G_{i}$ задана множинами $R_{G_{i}}$ породжуючих елементів і $S_{G_{i}}$ визначальних співвідношень $G_{i} = ⟨ R_{G_{i}} ∣ S_{G_{i}} ⟩ .$ Нехай також $R_{G_{i}} \cap R_{G_{j}} = \emptyset, i \neq j .$

Тоді вільний добуток цих груп може бути заданий як $G = ⟨ \cup_{i \in I} R_{G_{i}} ∣ \cup_{i \in I} S_{G_{i}} ⟩$ тобто множинами породжуючих елементів і визначальних співвідношень є об'єднанням відповідних множин добутків.

Приклади

Якщо G є циклічною групою порядку 4,

G = ⟨ x ∣ x^{4} = 1 ⟩,

і H є циклічною групою порядку 5

H = ⟨ y ∣ y^{5} = 1 ⟩ .

Тоді група G ∗ H є нескінченною групою заданою як

G * H = ⟨ x, y ∣ x^{4} = y^{5} = 1 ⟩ .

Оскільки у вільній групі немає визначальних співвідношень, то вільний добуток довільної множини вільних груп теж є вільною групою. Зокрема,

F_{m} * F_{n} ≅ F_{m + n},

де F_n позначає вільну групу з n породжуючими елементами.

Модулярна група $P S L_{2} (𝐙)$ є ізоморфною вільному добутку двох циклічних груп:

P S L_{2} (𝐙) = (𝐙 / 2) * (𝐙 / 3) .

Вільний добуток $ℤ_{2} * ℤ_{2}$ є ізоморфним нескінченній групі діедра $D_{\infty}$ .

Властивості

Будь-яка сім'я гомоморфізмів ${φ_{i} : G_{i} \to H}_{i \in I}$ груп $G_{i}$ в будь-яку групу $H$ однозначно продовжується до гомоморфізму $φ : G \to H$ для якого $φ \circ h_{i} = φ_{i},$ де $h_{i} : G_{i} \to G$ позначає вкладення підгрупи $G_{i}$ в групу $G$ . Дана властивість є універсальною: якщо для деякої групи $G$ і множини її підгруп $G_{i}$ виконується дана властивість, то група $G$ є вільним добутком множини груп $G_{i}$ .

Будь-яка підгрупа вільного добутку $G$ сама розкладається у вільний добуток своїх підгруп, з яких деякі є нескінченними циклічними, а кожна з інших є спряженою з деякою підгрупою якої-небудь групи $G_{i}$ , що входить у вільний розклад групи $G$ . Дане твердження називається теоремою Куроша.