Випадкова матриця

Випадкова матриця — матриця, елементи якої розподілені випадковим чином. Як правило, задається закон розподілу елементів. У теорії випадкових матриць вивчається статистика власних значень випадкових матриць, а іноді також статистика їх власних векторів.

Гауссові ансамблі

Найчастіше досліджують гауссові ансамблі випадкових матриць.

Гаусовий унітарний ансамбль GUE(n) описується Гауссовою мірою з густиною

$\frac{1}{Z_{\text{GUE}(n)}}{e}^{-\frac{n}{2}\mathrm{t}\mathrm{r}{H}^2}$

на просторі n × n ермітових матриць H = (H_ij)Шаблон:Su. Тут Z_GUE(n) = 2^n/2 Шаблон:Pi^n2/2 — стала нормування, вибрана щоби інтеграл по густині дорівнював одиниці. Слово унітарний позначає факт, що розподіл інваріантний щодо унітарних перетворень. Гаусовий унітарний ансамбль моделює гамільтоніани без T-інваріантності.

Гаусовий ортогональний ансамбль GOE(n) описується Гауссовою мірою з густиною

$\frac{1}{Z_{\text{GOE}(n)}}{e}^{-\frac{n}{4}\mathrm{t}\mathrm{r}{H}^2}$

на просторі n × n дійсних симетричних матриць H = (H_ij)Шаблон:Su. Їх розподіл інваріантний щодо ортогональних перетворень і моделює гамільтоніани з T-інваріантністю.

Література

• Шаблон:Книга