Вимірний простір

Вимірний простір використовується в математиці, зокрема в теорії міри, теорії імовірності.

Це пара об'єктів $(\mathrm{\Omega },ℱ)$, де $\mathrm{\Omega }$ простір елементарних подій, або просто елементарний простір, а $ℱ$ — σ-алгебра елементарних подій задана на $\mathrm{\Omega }$, або просто $\sigma$ -алгебра задана на $\mathrm{\Omega }$.

Вимірний простір служить базою для утворення імовірнісного простору, останній утворюється заданням на вимірному просторі імовірнісної міри $P$. Задання вимірного простору є одним кроком в межах аксіоматичного підходу до теорії імовірності запропонованого Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. Аксіоматичний підхід в теорії імовірностей найбільш продуктивний, в сенсі що в рамках цього підходу найлегше можна формулювати і доводити результати, легко пристосовувати теорію імовірностей до потреб інших наук, наприклад, фізики, фінансів тощо.

Елементи $\mathrm{\Omega }$ називаються простими або елементарними подіями, а підмножини просто подіями. $\sigma$-алгебра $ℱ$ складається з підмножин $\mathrm{\Omega }$.

Подія $A\subset \mathrm{\Omega }$ називається вимірною, якщо $A\subset ℱ$

Приклади

1. Тривіальним вимірним простором є простір $(\mathrm{\Omega },(\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }))$. Тобто $\sigma$-алгебра в даному випадку складається з двох елементів: порожньої множини і простору елементарних подій.
2. Нехай маємо монету. Підкидання монети передбачає дві елементарні події: Г — випадання герба і Ч — випадання числа. Тобто маємо простір елементарних подій $\mathrm{\Omega }=($Г, Ч$)$, і розглянемо $\sigma$-алгебру всіх підмножин $\mathrm{\Omega }$, $ℱ=\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega },$ Г, Ч$\}=\{\mathrm{\varnothing },\{$Г, Ч $\},$ Г, Ч$\}$

Див. також

• Простір елементарних подій
• Імовірнісний простір
• Аксіоми Колмогорова