Бета-функція

Графік бета-функції при дійсних аргументах

У математиці бета-функцією ($\mathrm{B}$-функцією, бета-функцією Ейлера чи інтегралом Ейлера I роду) називається наступна спеціальна функція від двох змінних:

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$,

визначена при $\mathrm{\Re }(x)>0$, $\mathrm{\Re }(y)>0$.

Бета-функція була досліджена Ейлером і Лежандром, а назву їй дав Жак Біне.

Властивості

Бета-функція симетрична відносно перестановки змінних, тобто

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$.

Бета-функцію можна виразити через інші функції:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$,

де $\mathrm{\Gamma }(x)$ — Гамма-функція;

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta ,\mathrm{\Re }(x)>0,\mathrm{\Re }(y)>0$;

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,\mathrm{\Re }(x)>0,\mathrm{\Re }(y)>0$;

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(y{)}_{n+1}}{n!(x+n)}$,

де $(x{)}_n$ — нижній факторіал, рівний $x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \dots \cdot (x-n+1)$.

Подібно тому як гама-функція для цілих чисел є узагальненням факторіала, бета-функція є узагальненням біноміальних коефіцієнтів зі зміненими параметрами:

${\mathrm{C}}_n^k=\frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(n-k+1,k+1)}$.

Похідні

Частинні похідні у бета-функції наступні:

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$.

Неповна бета-функція

Неповна бета-функція — це узагальнення бета-функції, що заміняє визначений інтеграл невизначеним:

${\mathrm{B}}_x(a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt$.

При $x=1$ неповна бета-функція збігається з повною.

Регуляризована неповна бета-функція визначається через повну і неповну бета-функції:

$I_x(a,b)=\frac{{\mathrm{B}}_x(a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}$.

Властивості $I(x)$

$I_0(a,b)=0$;

$I_1(a,b)=1$;

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$.

Див. також

• Гамма-функція
• Невластивий інтеграл
• Інтеграл Рімана
• Інтегральне числення

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр