Александровська геометрія

Александровська геометрія — своєрідний розвиток аксіоматичного підходу в сучасній геометрії. Ідея полягає в заміні певної рівності в аксіоматиці евклідового простору на нерівність.

Історія

Перше синтетичне визначення обмежень на кривину знизу і зверху дав Абрахам Вальд у своїй студентській роботі, написаній під керівництвом Шаблон:Iw. Ця робота була забута аж до 1980-их років.

Подібні визначення були перевідкриті Олександром Даниловичем Александровим. Він також дав перші значні застосування цієї теорії, зокрема до завдань вкладення і згинання поверхонь.

Близьке визначення метричних просторів недодатною кривиною було дане майже одночасно Шаблон:Нп.

Дослідження Александрова та його учнів велись за двома основним напрямками:

• Двовимірні простори з кривиною, обмеженою знизу;
• Простори довільної розмірності з кривиною обмеженою зверху.
  • Шаблон:Iw є продовженням цієї теорії для дискретних просторів. Воно має значні застосування в теорії груп.

Простори довільної розмірності з кривиною, обмеженою знизу, почали вивчати тільки в кінці 90-х років. Поштовхом до цих досліджень стала теорема Громова про компактність. Основна робота була написана Шаблон:Iw, Михайлом Леонідовичем Громовим і Григорієм Яковичем Перельманом.

Основні визначення

Трикутник порівняння для трійки точок $xyz$ метричного простору $X$ це трикутник $[\tilde{x}\tilde{y}\tilde{z}]$ на евклідовій площині ${𝔼}^2$ з тими ж довжинами сторін; тобто

$\begin{array}{cc}|\tilde{x}-\tilde{y}{|}_{{𝔼}^2}& =|x-y{|}_X,\\ |\tilde{y}-\tilde{z}{|}_{{𝔼}^2}& =|y-z{|}_X,\\ |\tilde{z}-\tilde{x}{|}_{{𝔼}^2}& =|z-x{|}_X.\end{array}$

Кут при вершині $\tilde{x}$ у трикутнику порівняння $[\tilde{x}\tilde{y}\tilde{z}]$ називаються кутом порівняння трійки $xyz$ і позначаються $\tilde{\measuredangle }(x{}_z^y)$.

В геометрії Александрова розглядаються повні метричні простори $X$ з внутрішньої метрикою з однією з двох таких нерівностей на 6 відстаней між 4 довільними точками.

Недодатна кривина

Перша нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок $x,y,p,q\in X$ розглянемо кілька трикутників порівняння $[\tilde{x}\tilde{p}\tilde{q}]$ і $[\tilde{y}\tilde{p}\tilde{q}]$. Тоді для довільної точки $\tilde{z}\in [\tilde{p}\tilde{q}]$ виконується нерівність

$|x-y{|}_X\le |\tilde{x}-\tilde{z}{|}_{{𝔼}^2}+|\tilde{x}-\tilde{z}{|}_{{𝔼}^2}.$

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє $\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{T}[0]$-нерівності. У разі локального виконання цієї нерівності, кажуть, що простір має недодатну кривину в сенсі Александрова.

Невід'ємна кривина

Друга нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок $p,x,y,z\in X$ виконується нерівність

$\tilde{\measuredangle }(p{}_y^x)+\tilde{\measuredangle }(p{}_z^y)+\tilde{\measuredangle }(p{}_x^z)\le 2\cdot \pi .$

У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє $\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{B}[0]$-нерівності або кажуть, що простір має невід'ємну кривину в сенсі Александрова.

Загальні обмеження на кривину

Замість Евклідової площини можна взяти простір $𝕄[k]$ — модельну площину кривини $k$. Тобто

• $𝕄[0]$ є евклідова площина,
• $𝕄[k]$ при $k>0$ є сфера радіуса $1/\sqrt{k}$,
• $𝕄[k]$ при $k<0$ є гіперболічна площина кривини $k$.

Тоді вищенаведені визначення перетворюються на визначення CAT[k] і CBB[k] просторів та просторів з кривиною $\le k$ і $\ge k$ у сенсі Александрова У разі $k>0$, трикутник порівняння трійки $(xyz)$ вважається визначеним, якщо виконана така нерівність

$|x-y{|}_X+|y-z{|}_X+|z-x{|}_X<2\cdot \pi /\sqrt{k}$.

Основні теореми

• Шаблон:Нп — важливе технічне твердження про кути порівняння
• Шаблон:Iw — дозволяє конструювати CAT(k) простору шляхом склеювання CAT(k) просторів за опуклими множинами.
• Шаблон:Iw — дає зручне еквівалентне визначення CAT(k) просторів.
• Теорема глобалізації для CAT(k) просторів, є узагальненням теореми Адамара — Картана.
• Теорема глобалізації для CBB(k) просторів, є узагальненням Шаблон:Нп.

Див. також

• Синтетична геометрія

Література

• Шаблон:Книга-ру
• Лекция 5, Геометрия Александрова Шаблон:Webarchive
• Антон Петрунин, Александровская геометрия Шаблон:Webarchive видео лекции
• Шаблон:Cite arXiv