Аксіома пари

Шаблон:UniboxАксіомою [існування невпорядкованої] пари називається наступне висловлення теорії множин :

$\mathrm{\forall }{a}_1\mathrm{\forall }{a}_2\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }b(b\in c⟺b=a_1\vee b=a_2)$

Аксіому пари можна сформулювати наступним чином: «Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину $c$, кожний елемент якої $b$ ідентичний даній множині $a_1$ або даній множині $a_2$».

Інші формулювання аксіоми пари

$\mathrm{\forall }{a}_1\mathrm{\forall }{a}_2\mathrm{\exists }c(c=\{b:b=a_1\vee b=a_2\})$

$\mathrm{\forall }{a}_1\mathrm{\forall }{a}_2\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }b(b\notin c⟺b\ne a_1\wedge b\ne a_2)$

$\mathrm{\forall }{a}_1\mathrm{\forall }{a}_2\mathrm{\exists }c(a_1\in c\wedge a_2\in c\wedge \mathrm{\forall }b(b\ne a_1\wedge b\ne a_2\to b\notin c))$

Примітки

1. Аксіому пари можна вивести зі схеми перетворення

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d⟺\mathrm{\exists }b(b\in a\wedge c=\mathrm{f}(b)))$, якщо припустити $a=𝒫(𝒫(\varnothing ))$ і вибрати функцію $\mathrm{f}$ такою, що $c=\mathrm{f}(b)⟺(b=\varnothing \to c=a_1)\wedge (b\ne \varnothing \to c=a_2)$.

2. Керуючись аксіомою об'ємності можна довести єдиність [невпорядкованої] пари. Інакше кажучи, можна довести, що 'аксіома пари' рівносильна висловлюванню

$\mathrm{\forall }{a}_1\mathrm{\forall }{a}_2\mathrm{\exists }!c\mathrm{\forall }b(b\in c⟺b=a_1\vee b=a_2)$, що є $\mathrm{\forall }{a}_1\mathrm{\forall }{a}_2\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }{c}^{\prime }(\mathrm{\forall }b(b\in c^{\prime }⟺b=a_1\vee b=a_2)⟺c=c^{\prime })$

Останнє висловлювання дозволяє стверджувати наступне: «З будь-яких двох [однакових або різних] множин можна утворити тільки одну "невпорядковану пару", тобто таку множину $c$, кожний элемент $b$ якої ідентичний даній множині $a_1$ чи даній множині $a_2$.»

3. Із аксіоми пари можна вивести теорему про існування одноелементної множини:

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }b(b\in c⟺b=a)$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств