Ітераційна формула Герона

Ітераційна формула Герона має вигляд

$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$,

де $a$ — фіксоване додатне число, а $x_1$ — будь-яке дійсне число.

Ітераційна формула задає спадаючу (починаючи з другого елемента) послідовність, яка при довільному виборі $x_1$ швидко сходиться до величини $\sqrt{a}$ (квадратний корінь з числа), тобто:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\sqrt{a}$.

Використовується для чисельного знаходження квадратного кореня з дійсного додатного числа. Кількість правильних десяткових знаків при обчисленнях з використанням формули Герона швидко зростає. Навіть якщо в процесі обчислень буде допущена помилка, то вона буде автоматично виправлена при наступних ітераціях (ітераційний процес, що саморегулюється).

Цю формулу можна отримати, застосовуючи метод Ньютона для розв'язування рівняння $x^2-a=0$.

Література

• Шаблон:Cite book