Інтегральне правило Лейбніца

Формальне твердження

Нехай f(x, t) — це функція така, що часткова похідна f щодо t існує і є неперервною. Тоді,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}f(x,t)\mathrm{d}x)=\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}x+f(b(t),t)\cdot b^{\prime }(t)-f(a(t),t)\cdot a^{\prime }(t)$

Доведення

Нехай

$\phi (\alpha )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,\alpha )\mathrm{d}x,$

де a і b — функції від α, що мають прирости Δa і Δb, відповідно, коли α збільшують на Δα. Тоді,

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\phi & =\phi (\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )-\phi (\alpha )\\ & =\underset{a+\mathrm{\Delta }a}{\overset{b+\mathrm{\Delta }b}{\int }}f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )\mathrm{d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,\alpha )\mathrm{d}x\\ & =\underset{a+\mathrm{\Delta }a}{\overset{a}{\int }}f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )\mathrm{d}x+\underset{b}{\overset{b+\mathrm{\Delta }b}{\int }}f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )\mathrm{d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,\alpha )\mathrm{d}x\\ & =-\underset{a}{\overset{a+\mathrm{\Delta }a}{\int }}f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )-f(x,\alpha )]\mathrm{d}x+\underset{b}{\overset{b+\mathrm{\Delta }b}{\int }}f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )\mathrm{d}x\end{array}$

Використовуючи теорему про середнє значення у формі, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=(b-a)f(\xi )$, де a < ξ < b, до першого і останнього інтегралів у формулі для Δφ вище, маємо

$\mathrm{\Delta }\phi =-\mathrm{\Delta }af({\xi }_1,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )+\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )-f(x,\alpha )]\mathrm{d}x+\mathrm{\Delta }bf({\xi }_2,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )$

Ділячи на Δα і спрямовуючи Δα → 0, і зауважуючи, що ξ₁ → a і ξ₂ → b, і використовуючи наступне

$\underset{\mathrm{\Delta }\alpha \to 0}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x,\alpha +\mathrm{\Delta }\alpha )-f(x,\alpha )}{\mathrm{\Delta }\alpha }\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }f(x,\alpha )\mathrm{d}x$

отримуємо загальну форму інтегрального правила Лейбніца:

$\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}\alpha }=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }f(x,\alpha )\mathrm{d}x+f(b,\alpha )\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\alpha }-f(a,\alpha )\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}\alpha }$

Графічне пояснення

Файл:Leibniz inegral rule.svg

На зображенні горизонтальна вісь це вісь $x$. Ми маємо, що різні значення $t$ дають різні функції від $x$.

Згідно з правилом Лейбніца, границі $a,b$ змінюватимуться зі зміною $t$. Отже, зі зміною $t$ маємо три внески у зміну інтеграла:

1. Змінюється нижня границя. Площа під кривою зменшується приблизно на жовту область

   $d{A}_1=-daf(x,a)=-dt\frac{da}{dt}f(x,a).$

2. Змінюється верхня границя. Подібним чином

   $d{A}_2=dbf(x,b)=dt\frac{db}{dt}f(x,b).$

3. Змінюється інтегранд. Його площа зменшується на синю область і збільшується на область морського кольору.

   $d{A}_3=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x,t+dt)-f(x,t)]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\delta f}{\delta t}dtdx=dt\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\delta f}{\delta t}dx.$

Сумарна зміна дає нам формулу Лейбніца.

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Шаблон:Mathworld