Інтеграл Борвейна

У математиці, Інтеграл Борвейна — інтеграл незвичайні властивості якого були вперше представлені математиками Шаблон:Нп та Джонатаном Борвейном в 2001 році. Інтеграл Борвейна включає в себе добутки функцій $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$.Функція sinc визначається як $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ де $x\ne 0$ та $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(0)=1$.

Ці інтеграли чудові тим, що демонструють явні закономірності, які в кінцевому підсумку руйнуються. Наведемо наступний приклад:

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2},\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2},\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\frac{\sin (x/5)}{x/5}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}.\end{array}$

Ця закономірність продовжується до

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/13)}{x/13}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}.$

Але на наступному кроці очевидна закономірність не спрацьовує:

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/15)}{x/15}\mathrm{d}x& =\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & =\frac{\pi }{2}-\frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\ & \approx \frac{\pi }{2}-2,31\times 10^{-11}.\end{array}$

У загальному випадку, подібні інтеграли набувають значення $\frac{\pi }{2}$ ,якщо числа $3,5,7,\dots$ замінюються на додатні дійсні числа, такі, що сума їх обернених значень менша за $1$ .

У наведеному вище прикладі, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{13}<1,$ але $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{15}>1.$

З включенням додаткового множника $2\cos (x)$ закономірність витримує більш довший ряд:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\cos (x)\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/111)}{x/111}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2},$

але

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\cos (x)\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/111)}{x/111}\frac{\sin (x/113)}{113}\mathrm{d}x<\frac{\pi }{2}.$

У цьому випадку, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{111}<2,$ але $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{113}>2.$

Причина порушення закономірності та розширення ряду продемонстрована за допомогою інтуїтивного математичного пояснення. Зокрема, переформулювання у термінах випадкових блукань з аргументом причинності проливає світло на порушення закономірності та відкриває шлях для ряду узагальнень.

Загальна формула

Для заданої послідовності ненульових дійсних чисел , $a_0,a_1,a_2,\dots$, можна представити загальну формулу для інтеграла

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\prod _{k=0}^n\frac{\sin (a_{k}x)}{a_{k}x}\mathrm{d}x.$

Для виведення формули потрібно розглянути суми, що включають $a_k$. Зокрема, якщо $\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_n)\in \{\pm 1{\}}^n$ набір з $n$ чисел, де кожне $\pm 1$, то тоді запишемо $b_{\gamma }=a_0+{\gamma }_1{a}_1+{\gamma }_2{a}_2+\cdots +{\gamma }_n{a}_n$, що є певним зкакозмінним рядом декількох перших $a_k$, та покладемо ${\epsilon }_{\gamma }={\gamma }_1{\gamma }_2\cdots {\gamma }_n$, де $\pm 1$. У цих позначеннях значення вищевказаного інтеграла дорівнює

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\prod _{k=0}^n\frac{\sin (a_{k}x)}{a_{k}x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2a_0}{C}_n,$

де

$C_n=\frac{1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^n{a}_k}\sum _{\gamma \in \{\pm 1{\}}^n}{\epsilon }_{\gamma }{b}_{\gamma }^n\mathrm{sgn}(b_{\gamma }).$

У випадку, якщо $a_0>|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|$, то $C_n=1$.

Крім того, якщо існує $n$ що для кожного $k=0,\dots ,n-1$ виконуються умови $0<a_n<2a_k$ та $a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}<a_0<a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_n$, тобто $n$ - перше значення за якого часткова сума перших $n$ елементів послідовності перевищує $a_0$, тоді $C_k=1$ для кожного $k=0,\dots ,n-1$ але

$C_n=1-\frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n-a_0{)}^n}{2^{n}n!\prod _{k=1}^n{a}_k}.$

Розглянемо випадок коли $a_k=\frac{1}{2k+1}$.

Якщо $n=7$ ,то $a_7=\frac{1}{15}$ та $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\approx 0,955,$ але $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}\approx 1,02.$

Оскільки $a_0=1$, то отримуємо формулу

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/13)}{x/13}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2},$

яка вірна при виключенні будь-якого з множників, але

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\sin (x/3)}{x/3}\cdots \frac{\sin (x/15)}{x/15}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}(1-\frac{(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1{)}^7}{2^6\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}),\end{array}$

що дорівнює значенню, заданому вище.

Посилання

• Patterns That Eventually Fail Шаблон:Webarchive, 20 September 2018
• Breakdown Шаблон:Webarchive, 2 February 2012
• Illusive patterns in math explained by ideas in physics Шаблон:Webarchive, 19 July 2019
• (video) When random walkers help solving intriguing integrals Шаблон:Webarchive 19 July 2019