Інтеграл Абеля

Інтеграл Абеля — інтеграл від алгебричної функції вигляду:

$A=\underset{z_0}{\overset{z_1}{\int }}R(z,w)dz(1),$

де $R(z,w)$ — будь-яка раціональна функція від змінних $z$ і $w$, пов'язаних алгебричним рівнянням

$F(z,w)=a_0(z)w^n+a_1(z)w^{n-1}+\cdots +a_n(z)=0(2).$

з цілими раціональними за $z$ коефіцієнтами $a_j(z),j=0,1,\cdots ,n$. Рівнянню (2) відповідає компактна ріманова поверхня $F$, що у $n$ шарів покриває сферу Рімана, на якій $z,w$, а відповідно, і $R(z,w)$, що розглядаються як функції точки поверхні $F$, однозначні.

Нехай функція $w$ задається рівнянням

$w^2=z^3+pz+q,$

де правий поліном не має кратних коренів. У цьому випадку функція $A_w$ є еліптичним інтегралом. Вона визначена із точністю до $m{v}_1+n{v}_2,$ де $v_1,v_2$ - пара комплексних чисел, $m,n$ - цілі. множина чисел типу $m{v}_1+n{v}_2$ утворює ґратку $\mathrm{\Gamma }\subset ℂ.$ Таким чином, із еліптичним інтегралом пов'язаний тор $ℂ/\mathrm{\Gamma }.$

Рівняння задає на площині ${ℂ}^2=\{(z,w)\}.$ Якщо доповнити ${ℂ}^2$ до проективного простору ${\mathbb{P}}^2={\mathbb{P}}^{1}c,$ додавши нескінченно віддалену пряму і замкнувши її у ${\mathbb{P}}^2,$ отримаємо неособливу замкнену криву $E\subset {\mathbb{P}}^2$ (тобто компактну ріманову поверхню), еліптичну криву, яка є ізоморфною $ℂ/\mathrm{\Gamma }.$ Нехай маємо еліптичну функцію Вайєрштрасса:

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}}[\frac{1}{(z-w{)}^2}-\frac{1}{w^2}].$

Вона є мероморфною функцією із ґраткою періодів $\mathrm{\Gamma }.$ Її похідна і вона сама пов'язані рівнянням

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3,$

для декотрих констант $g_2,g_3,$ які залежать від гратки $\mathrm{\Gamma }.$ Таким чином, $z\to (\mathrm{\wp }(z),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z))$ є мероморфним відображенням $ℂ/\mathrm{\Gamma }$ на компактифікацію $E^{\prime }\subset {\mathbb{P}}^2$ кривої, заданої на комплексній площині. Проективні криві $E,E^{\prime }$ є ізоморфними.

Досліджуючи абелеві функції, Ріман зконструював поверхні (криві $g$) за допомогою розрізів та зклеювань на комплексній поверхні. Нехай $H^{1,0}$є простором голоморфних 1-форм на компактній рімановій поверхні $X_{(g)}$ із базисом $\omega =({\omega }_1,...,{\omega }_g).$ Також нехай $\beta =({\beta }_1,...,{\beta }_{2g})$ є базисом у просторі 1-гомологій $H_1(X,\mathbb{Z})\simeq {\mathbb{Z}}^{2g}$ на $X$. Тоді

${\mathrm{\Omega }}_{ij}=\underset{{\beta }_i}{\int }{\omega }_i$

є періодами на $X$. Вони утворюють матрицю $\mathrm{\Omega }=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{\Omega }}_{ij}\end{array}\right|$ періодів, яка залежить від вибору базисів у $H_1(X,\mathbb{Z})$ та $H^{1,0}.$ Ці періоди дозволяють відтворити криву $X$.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:Е-ВУЕ