H∞-керування

H на нескінче́нності або ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$ — метод теорії керування для синтезу оптимальних контролерів. Метод є оптимізаційним, що має справу із строгим математичним описом передбачуваної поведінки замкненої системи і її стійкості. Метод примітний своєю строгою математичною базою, оптимізаційним характером і застосовністю як до класичного, так і надійного керування.

$\mathscr{H}$ є нормою в просторі Гарді. «Нескінченність» говорить про виконання мінімаксних умов в частотній області. ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-норма динамічної системи, дорівнює максимальному підсиленню системи по енергії. У разі MIMO-систем вона дорівнює максимальному сингулярному значенню передавальної функції системи, у разі SISO-систем вона дорівнює максимальному значенню амплітуди її частотної характеристики.

Постановка задачі

Спочатку система повинна бути приведена до стандартного вигляду:

Об'єкт управління P має два входи, дві зовнішні дії w, які включають сигнал завдання і збурення. Контрольована змінна позначена u. Це вектор вихідних сигналів системи, що складається з сигналу похибки z, який треба мінімізувати і зміряна змінна v, яка використовується в контурі керування. v використовується в До для підрахунку змінної u.

Рівняння системи:

$\left[\begin{array}{c}z\\ v\end{array}\right]=P(s)\left[\begin{array}{c}w\\ u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}(s)& P_{12}(s)\\ P_{21}(s)& P_{22}(s)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}w\\ u\end{array}\right]$

$u=K(s)v$

Таким чином можливо виразити залежність z від w:

$z=F_l(P,K)w$

й далі:

$F_l(P,K)=P_{11}+P_{12}K(I-P_{22}K{)}^{-1}{P}_{21}$

Таким чином, метою ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-керування є синтез такого контролера K, $F_l(P,K)$, який мінімізував би ${\mathscr{H}}_{\mathrm{\infty }}$-норму системи. Те ж стосується й ${\mathscr{H}}_2$-керування . Норма на нескінченності матриці $F_l(P,K)$ визначається як:

$||F_l(P,K)|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{\omega }{\sup }\overline{\sigma }(F_l(P,K)(j\omega ))$

де $\overline{\sigma }$ — максимальне сингулярне значення матриці $F_l(P,K)(j\omega )$.