Цей графік має бути конвертований у векторний формат SVG. Це дає декілька переваг, докладніше про які Ви можете прочитати на сторінці Commons:Media for cleanup. Якщо Вам вже зараз доступна векторна версія даного зображення, завантажте її, будь ласка. Після завантаження замініть цей шаблон на такий: {{vector version available|Назва_завантаженого_файлу.svg}}.

This image shows some features of the discrete dynamical system

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})\,}$

based on complex quadratic polynomial :

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.\,}$.

When coefficient ${\displaystyle c\,}$ goes from c=0.25 to c=-2 along horizontal axis ( imaginary part of c is zero and it is a 3D diagram of function which gets real input and gives complex output) then limit cycle is changing from fixed point ( period 1) to period 2 cycle. This qualitative change is called bifurcation.

This path is inside Mandelbrot set ( escape route). It s also first of period doubling bifurcation.

Note that :

• there are fixed points for all c values, but they change from attracting to indifferent( in parabolic point, root point) and repelling
• there are 2 period 2 points for all c values. They also change from from attracting to indifferent( in parabolic point, root point) and repelling.
• in bifurcation point ( root, parabolic) all period 2 values and fixed point have the same value and the same (=1) stability index .
• before and after bifurcation point period 2 points creates 3D parabolas, which are rotated ( 90 degrees) with respect to themselves

Please check demo 2 page 3 from program Mandel by Wolf Jung to see another visualisation of this bifurcation.

Stability r is absolute value of multiplier m at fixed point alfa ${\displaystyle z_{\alpha }}$:

${\displaystyle r=|m(z_{\alpha })|}$

c = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0000000000000000 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0513167019494862+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0513167019494862 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1055728090000841+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1055728090000841 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1633399734659244+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1633399734659244 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2254033307585166+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2254033307585166 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2928932188134524+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2928932188134524 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.3675444679663241+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.3675444679663241 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.4522774424948338+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.4522774424948338 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.5527864045000419+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.5527864045000419 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.6837722339831620+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.6837722339831620 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.9999999894632878+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.9999999894632878 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.3162277660168377*I 	 r(m) = 1.0488088481701514 	 t(m) = 0.0487455572605341 	period = 1
 c = 0.3000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.4472135954999579*I 	 r(m) = 1.0954451150103321 	 t(m) = 0.0669301182003075 	period = 1
 c = 0.3250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.5477225575051662*I 	 r(m) = 1.1401754250991381 	 t(m) = 0.0797514300099943 	period = 1
 c = 0.3500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.6324555320336760*I 	 r(m) = 1.1832159566199232 	 t(m) = 0.0897542589928440 	period = 1

==Maxima CAS src code==
<pre>
 GiveRoots_bf(g):=
 block(
  [cc:bfallroots(expand(g)=0)],
  cc:map(rhs,cc),/* remove string "c=" */
  return(cc)
 )$ 


 /* functions for computing periodic points ;   */ 
 give_beta(_c):= (1+sqrt(abs(1-4*_c)))/2 $  
 give_alfa(_c):= (1-sqrt(abs(1-4*_c)))/2 $ 
 give_2(c):=
 block(
 [eq,rr],
 eq:z*z +z +c +1,  
 rr:GiveRoots_bf(eq), 
 return(float(rr))
 ); 


 xMax:0;
 xMin:-1.39;
 yMin:-2;
 yMax:2;
 iXmax:1000;
 dx:(xMax-xMin)/iXmax;

 /*  points */
 p_pts:[ [-0.75,-0.5,0] ];
 p1_beta:[];
 p1_alfa_r:[];
 p1_alfa_a:[];
 p2_r:[]; /* period 2 repelling */
 p2_a:[]; /* period 2 attracting */ 


 /* -------------------- main  ----------------------- */
 for c:xMin step dx thru xMax do 
 (
 alfa:give_alfa(c),
 if cabs(2*alfa)>1 
  then p1_alfa_r:cons([c,realpart(alfa),imagpart(alfa)],p1_alfa_r)
  else p1_alfa_a:cons([c,realpart(alfa),imagpart(beta)],p1_alfa_a),
 roots:allroots(z*z +z +c +1=0),
 z2:rhs(roots[1]),
 if cabs(float(4*z2*(z2*z2+c)))>1  /* multiplier */
  then for z in roots do p2_r:cons([c,realpart(rhs(z)),imagpart(rhs(z))],p2_r)
  else for z in roots do p2_a:cons([c,realpart(rhs(z)),imagpart(rhs(z))],p2_a)
 );


 load(cpoly); /* for bfallroots */
 load(draw);


 draw3d(
  terminal = screen,
  pic_height= iXmax,
  title       = "periodic z-points for c along horizontal axis  for fc(z)= z*z +c ",
  ylabel     = "Re(z)",
  zlabel ="Im(z)",
  xlabel     = "c-coefficient",
  yrange = [yMin,yMax],
  point_type    = filled_circle,
  point_size    = 0.2,
  points_joined = true,
  /* period 1 */
  key    = " alfa repelling",
  color  = dark-blue,
  points(p1_alfa_r),
  key    = " alfa attracting",
  color  = light-blue,
  points(p1_alfa_a),
  /* period 2 */
  points_joined = false,
  key    = " period 2 attracting",
  color  = dark-green,
  points(p2_a),
  key    = " period 2 repelling",
  color  = light-green,
  points(p2_r),
  /* grid and tics */
  xtics      = {-3/4}, 
  /* -2,root points,centers, 0 */
  /*xtics_axis = true,  plot tics on x-axis */
  xtics_rotate = true,
  ytics      = {-0.5},
  ztics = {-1,0,1},
  grid       = true, /* draw grid*/
  /* special points */
  point_size    = 0.7,
  color         = red,
  key           = "bifurcation",
  points(p_pts)
 )$

Я, власник авторських прав на цей твір, добровільно публікую його на умовах таких ліцензій:

Цей файл ліцензований на умовах ліцензії Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

Ви можете вільно:

• ділитися – копіювати, поширювати і передавати твір
• модифікувати – переробляти твір

При дотриманні таких умов:

• зазначення авторства – Ви повинні вказати авторство, надати посилання на ліцензію і вказати, чи якісь зміни було внесено до оригінального твору. Ви можете зробити це в будь-який розсудливий спосіб, але так, щоб він жодним чином не натякав на те, наче ліцензіар підтримує Вас чи Ваш спосіб використання твору.
• поширення на тих же умовах – Якщо ви змінюєте, перетворюєте або створюєте іншу похідну роботу на основі цього твору, ви можете поширювати отриманий у результаті твір тільки на умовах такої ж або сумісної ліцензії.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0CC BY-SA 3.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 truetrue

Дозволяється копіювати, розповсюджувати та/або модифікувати цей документ на умовах ліцензії GNU FDL версії 1.2 або більш пізньої, виданої Фондом вільного програмного забезпечення, без незмінних розділів, без текстів, які розміщені на першій та останній обкладинці. Копія ліцензії знаходиться у розділі GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

Ви можете обрати ліцензію на ваш розсуд.